POINT
- 流体力学で現れる物質微分（ラグランジュ微分）の意味について．
- 物質微分は，流体の流れと一緒に移動する「流体粒子」からみた微分とみなせる．
- 物質微分の関係式を考察する．
「物質微分」は流体力学で基礎的かつ重要な概念です．最初はとっつきにくいかもしれませんが，絵を描くと簡単に理解できます．
物質微分の計算は，結局，通常の微分計算に帰着します．難しく考える必要はありません．
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必要性と意味
以下で見るように，「物質微分」は「流体粒子を追いかけて物理量を計算する」際に，自然に現れる式です．例えば，運動方程式では「流体粒子の加速度」が必要となるため「物質微分」が現れます（参考：流体力学の方程式（運動方程式・連続の方程式・状態方程式） - Notes_JP）．そこで，まずは流体粒子の加速度を例として考えてみます（一般化した議論は付録で行います）．
【流体粒子の加速度の計算】
\begin{aligned}
&u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t) \\
&=u_i(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)\cdot (\boldsymbol{u}\Delta t)
+\frac{\partial u_i}{\partial t}\Delta t \\
&\qquad+O\Bigl( (\Delta t)^2 \Bigr)
\end{aligned}
とテイラー展開できます．流体粒子の加速度は「流体粒子の速度の時間変化率」なので&u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t) \\
&=u_i(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)\cdot (\boldsymbol{u}\Delta t)
+\frac{\partial u_i}{\partial t}\Delta t \\
&\qquad+O\Bigl( (\Delta t)^2 \Bigr)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&a_i(\boldsymbol{x},t) \\
&= \lim_{\Delta t\to 0}
\frac{u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t)-u_i(\boldsymbol{x},t)}
{\Delta t}\\
&=\frac{\partial u_i}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
となります．右辺の計算を通常の偏微分$\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)$と区別するため，$\displaystyle \frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)$で表します．//&a_i(\boldsymbol{x},t) \\
&= \lim_{\Delta t\to 0}
\frac{u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t)-u_i(\boldsymbol{x},t)}
{\Delta t}\\
&=\frac{\partial u_i}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
右辺の計算は，加速度に限らず物理量の変化を「流体粒子を追跡して考える」ときに共通して現れます．実際，上で$u_i$の代わりに任意の物理量$\varphi(\boldsymbol{x},t)$を考えれば，「流体粒子から見た$\varphi$」の時間微分は全く同じ考え方で計算できます．そこで，「物質微分」を次で定義します．
定義
流体の速度がベクトル場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$で与えられるとします．このとき，$\varphi(\boldsymbol{x},t)$に対する物質微分（ラグランジュ微分）は以下で定義されます：物質微分（ラグランジュ微分）
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla{\varphi}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla{\varphi}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
上の加速度の例で見たように，ベクトルに対しても各成分に対して微分演算子
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}
=\frac{\partial}{\partial t}
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla
\end{aligned}
を作用させることで物質微分が定義されます．\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}
=\frac{\partial}{\partial t}
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla
\end{aligned}
【コメント】
物質微分は，（$\boldsymbol{x}$が$t$と独立な変数ではなく，$t$の従属変数となる）$\boldsymbol{x}(t)$の場合の「全微分」の形になっています．これについては付録で解説します．
関係式
定義に戻って考えれば，通常の計算に帰着します．合成関数の微分（チェーンルール）
合成関数の物質微分は以下で計算できます：合成関数の微分（チェーンルール）
$f(\boldsymbol{x},t)=g\bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr)$の物質微分は
【証明】\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\mathrm{D} h}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
となる．\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\mathrm{D} h}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla f(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
に対して通常の合成関数の微分法\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla f(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
を適用すると\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=g^\prime\bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr)\Bigl[\frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla h(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{aligned}
となります．//&\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=g^\prime\bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr)\Bigl[\frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla h(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{aligned}
例えば，音速が$c=\sqrt{\mathrm{d} p/\mathrm{d}\rho}$で与えられるとき（$p$は圧力，$\rho$は密度）
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} p}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}\rho} \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t} \\
&=c^2 \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t}
\end{aligned}
と計算できます．\frac{\mathrm{D} p}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}\rho} \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t} \\
&=c^2 \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t}
\end{aligned}
ベクトル場の物質微分の変形
ベクトル場$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)$の物質微分は次の関係式を満たす：ベクトルの物質微分
\begin{aligned}
&\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{A}}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\bigl[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla\bigr]\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \\
&=\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&\quad +\frac{1}{2}\bigl[
\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{u})
+\mathrm{rot\,}(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{u}) \\
&\qquad\qquad -\boldsymbol{A}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u}
+\boldsymbol{u}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{A} \\
&\qquad\qquad -\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
-\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}\bigr]
\end{aligned}
&\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{A}}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\bigl[\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla\bigr]\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) \\
&=\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
&\quad +\frac{1}{2}\bigl[
\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{u})
+\mathrm{rot\,}(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{u}) \\
&\qquad\qquad -\boldsymbol{A}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{u}
+\boldsymbol{u}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{A} \\
&\qquad\qquad -\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
-\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}\bigr]
\end{aligned}
ベクトル解析の公式
\begin{aligned}
&(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A} \\
&=\frac{1}{2}\bigl[
\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})
+\mathrm{rot\,}(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}) \\
&\qquad\quad -\boldsymbol{A}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{B}
+\boldsymbol{B}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{A} \\
&\qquad\quad -\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}
-\boldsymbol{B}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}\bigr]
\end{aligned}
から示される．//&(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A} \\
&=\frac{1}{2}\bigl[
\boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})
+\mathrm{rot\,}(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B}) \\
&\qquad\quad -\boldsymbol{A}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{B}
+\boldsymbol{B}\mathrm{\,div\,}\boldsymbol{A} \\
&\qquad\quad -\boldsymbol{A}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{B}
-\boldsymbol{B}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}\bigr]
\end{aligned}
特に，$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$のとき
速度場の物質微分（加速度）
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{\nabla} (|\boldsymbol{u}|^2/2)
-\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
\end{aligned}
\frac{\mathrm{D} \boldsymbol{u}}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{\nabla} (|\boldsymbol{u}|^2/2)
-\boldsymbol{u}\times\mathrm{rot\,}\boldsymbol{u}
\end{aligned}
付録
詳細な議論を補足します．物質微分と全微分
ここでは，全微分の考え方を用いて，物質微分$\mathrm{D}\varphi / \mathrm{D}t$が「流体粒子から見た$\varphi$」の時間微分であることを確認します．【解説】
時刻$t_0$に$\boldsymbol{x}(t_0)$にある流体粒子の時刻$t$における位置
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}(t)
=\boldsymbol{x}(t_0)
+\int^t_{t_0}
\boldsymbol{u} \bigl(\boldsymbol{x}(t^\prime),t^\prime \bigr)
\,\mathrm{d}t^\prime
\end{aligned}
を用いて，「流体粒子から見た$\varphi$」は$\tilde{\varphi}(t)=\varphi \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)$と表せる．この時間微分（全微分）は\boldsymbol{x}(t)
=\boldsymbol{x}(t_0)
+\int^t_{t_0}
\boldsymbol{u} \bigl(\boldsymbol{x}(t^\prime),t^\prime \bigr)
\,\mathrm{d}t^\prime
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}\tilde{\varphi}}{\mathrm{d}t}(t) \\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
+\dot{\boldsymbol{x}}(t)\cdot\nabla{\varphi} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr) \\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
+\boldsymbol{u} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)\cdot\nabla{\varphi} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr) \\
&=\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
\end{aligned}
となり，物質微分と一致する．//& \frac{\mathrm{d}\tilde{\varphi}}{\mathrm{d}t}(t) \\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
+\dot{\boldsymbol{x}}(t)\cdot\nabla{\varphi} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr) \\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
+\boldsymbol{u} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)\cdot\nabla{\varphi} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr) \\
&=\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t} \bigl(\boldsymbol{x}(t),t \bigr)
\end{aligned}
参考文献 / 記事
[1]流体力学 (物理テキストシリーズ 9)[2]流体力学 (前編) (物理学選書 (14))
[3]理論電磁気学：第10章$\text{\sect} 1$「Hertzの理論」．流体粒子が移動するのではなく，座標系が一定速度で移動するときも，ラグランジュ微分が現れます．「ガリレイ変換のスカラー量」の時間微分がラグランジュ微分となることを示しています．
