物質微分の意味と関係式(流体力学)

POINT

  • 流体力学で現れる物質微分(ラグランジュ微分)の意味を解説.
  • 物質微分は,流体の流れと一緒に移動する「流体粒子」からみた微分とみなせる.
  • 物質微分の関係式をいくつか計算する.

流体力学で基礎的かつ重要な概念である「物質微分」のイメージはとても簡単です.関係式(計算例)についてもいくつか紹介します.

絵を書くともっと簡単にイメージできるので,そのうち追加します.

必要性と意味

以下で見るように,「物質微分」は「流体粒子を追いかけて物理量を計算」しようとすると自然に必要になる概念であることがわかります.

例えば,運動方程式では流体粒子の加速度が必要となるため「物質微分」が現れます.そこで,まずは流体粒子の加速度に限定して見てみます(もっと詳しい議論は付録で行います).

【流体粒子の加速度の計算】
流体の速度場が$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)=(u_1,u_2,u_3)$であるとして,この流れの流体粒子の加速度$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{x},t)=(a_1,a_2,a_3)$を計算しましょう.微小時間$\Delta t$における速度変化を考えると
\begin{align}
&u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t) \\
&=u_i(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)\cdot (\boldsymbol{u}\Delta t)
+\frac{\partial u_i}{\partial t}\Delta t \\
&\qquad+O\left((\Delta t)^2\right)
\end{align}とテイラー展開することができます.流体粒子の加速度は「流体粒子の速度の時間変化率」なので
\begin{align}
&a_i(\boldsymbol{x},t) \\
&= \lim_{\Delta t\to 0}
\frac{u_i(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}\Delta t,t+\Delta t)-u_i(\boldsymbol{x},t)}
{\Delta t}\\
&=\frac{\partial u_i}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\boldsymbol{\nabla}u_i(\boldsymbol{x},t)
\end{align}となります.右辺の計算を通常の偏微分$\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)$と区別するため,$\displaystyle \frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)$で表します.//


右辺の計算は,加速度に限らず物理量の変化を「流体粒子を追跡して考える」ときに共通して現れます.実際,上で$u_i$の代わりに任意の物理量$\varphi(\boldsymbol{x},t)$を考えれば,「流体粒子から見た$\varphi$」の時間微分は全く同じ考え方で計算できることがわかるでしょう.そこで,「物質微分」を次のように定義します.

定義

流体の速度がベクトル場$\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)$で与えられるとします.このとき,$\varphi(\boldsymbol{x},t)$に対する物質微分(ラグランジュ微分)は以下で定義されます:
物質微分(ラグランジュ微分)
$\displaystyle
\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
=\frac{\partial \varphi}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla{\varphi}(\boldsymbol{x},t)$

上の加速度の例で見たように,ベクトルに対しても各成分に対して微分演算子
\begin{align}
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}
=\frac{\partial}{\partial t}
+\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla
\end{align}を作用させることで物質微分が定義されます.



【コメント】
物質微分は,($\boldsymbol{x}$が$t$と独立な変数ではなく,$t$の従属変数となる)$\boldsymbol{x}(t)$の場合の「全微分」の形になっています.これについては付録で解説します.

関係式

定義に戻って考えれば,通常の計算に帰着します.

合成関数の微分(チェーンルール)

合成関数の物質微分は以下で計算できます:
合成関数の微分(チェーンルール)
$f(\boldsymbol{x},t)=g\bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr)$の物質微分は
\begin{align}
\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\mathrm{D} h}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
\end{align}となる.
【証明】
\begin{align}
\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t)
&=\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla f(\boldsymbol{x},t)
\end{align}に対して通常の合成関数の微分法
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) \\
\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
&=g^\prime \bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr) \frac{\partial h}{\partial x_i}(\boldsymbol{x},t)
\end{align}を適用すると
\begin{align}
&\frac{\mathrm{D} f}{\mathrm{D}t}(\boldsymbol{x},t) \\
&=g^\prime\bigl( h(\boldsymbol{x},t) \bigr)\Bigl[\frac{\partial h}{\partial t}(\boldsymbol{x},t) +\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x},t)\cdot\nabla h(\boldsymbol{x},t) \Bigr]
\end{align}となります.//

例えば,音速が$c=\sqrt{\mathrm{d} p/\mathrm{d}\rho}$で与えられるとき($p$は圧力,$\rho$は密度)
\begin{align}
\frac{\mathrm{D} p}{\mathrm{D}t}
&=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}\rho} \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t} \\
&=c^2 \frac{\mathrm{D} \rho}{\mathrm{D}t}
\end{align}と計算できます.

付録

詳細な議論を補足します.

物質微分と全微分

ここでは,全微分の考え方を用いて,物質微分$\mathrm{D}\varphi / \mathrm{D}t$が「流体粒子から見た$\varphi$」の時間微分であることを確認します.

【解説】
時刻$t_0$に$\boldsymbol{x}(t_0)$にある流体粒子の時刻$t$における位置
\begin{align}
\boldsymbol{x}(t)
=\boldsymbol{x}(t_0)
+\int^t_{t_0}
\boldsymbol{u}\left(\boldsymbol{x}(t^\prime),t^\prime\right)
\,\mathrm{d}t^\prime
\end{align}を用いて,「流体粒子から見た$\varphi$」は$\tilde{\varphi}(t)=\varphi\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)$と表せる.この時間微分(全微分)は
\begin{align}
& \frac{\mathrm{d}\tilde{\varphi}}{\mathrm{d}t}(t) \\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)
+\dot{\boldsymbol{x}}(t)\cdot\nabla{\varphi}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)
\notag\\
&=\frac{\partial\varphi}{\partial t}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)
+\boldsymbol{u}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)\cdot\nabla{\varphi}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)
\notag\\
&=\frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}\left(\boldsymbol{x}(t),t\right)
\end{align}となり,物質微分と一致する.//

参考文献

流体力学 (物理テキストシリーズ 9)

流体力学 (物理テキストシリーズ 9)