POINT
- 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します.
- ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので,波動現象(電磁波,音波など)の理解にも役立ちます.
【関連記事】
Schrödinger方程式
ポテンシャルが球対称$V(\boldsymbol{r})=V(r)$である場合には,3次元シュレーディンガー方程式が\begin{aligned}
\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r) \biggr] \varphi(\boldsymbol{r})
&=E\varphi(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
で与えられます.これは,\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r) \biggr] \varphi(\boldsymbol{r})
&=E\varphi(\boldsymbol{r})
\end{aligned}
\begin{aligned}
[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{aligned}
という微分方程式に帰着できます.この方程式はヘルムホルツ方程式を特殊な場合として含んでいます($f(r)=k^2$).以下,この方程式の解を求めてみましょう.[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{aligned}
ここで,極座標のラプラシアンは
\begin{aligned}
\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u
\end{aligned}
で与えられます.但し,\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u
\end{aligned}
\begin{aligned}
\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{aligned}
は2次元球面上の微分演算子を表します.\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{aligned}
解法(変数分離)
それでは,微分方程式$[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0$を変数分離の方法で解いていきます.変数分離
$\varphi(\boldsymbol{r})=R(r)Y(\theta,\varphi)$と変数分離した解を代入し,$\times\dfrac{r^2}{R(r)Y(\theta,\varphi)}$とすると\begin{aligned}
\frac{r}{R}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+r^2f(r)
= -\frac{1}{Y}\Delta_{S} Y (=\lambda)
\end{aligned}
となり,左辺が$r$だけの関数,右辺が$\theta,\varphi$だけの関数に分離できます.\frac{r}{R}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+r^2f(r)
= -\frac{1}{Y}\Delta_{S} Y (=\lambda)
\end{aligned}
したがって,両辺は定数でなくてはならず,その定数を$\lambda$とすると2つの微分方程式
\begin{aligned}
& \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
\tag{1}
\end{aligned}
& \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
\tag{1}
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \Delta_{S} Y + \lambda Y=0
\tag{2}
\end{aligned}
が得られます.& \Delta_{S} Y + \lambda Y=0
\tag{2}
\end{aligned}
角度変数
まず角度に関する方程式(2)を解いていきましょう(動径方程式(1)は次の節で考えます).これは,球面調和関数の満たす微分方程式となっており,関連記事[A]で扱っています.
ここでは,結果だけ示します:
角度方程式
\begin{aligned}
\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{aligned}
を満たすとき,$|m|\leq l$を満たす整数$l,m$を用いて\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{aligned}
- 固有値は$\lambda = l(l+1)$と表すことができ,
- その規格化された固有関数は
\begin{aligned}となる.
&Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
&=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
&\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{aligned}
動径関数
$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式(1)において\begin{aligned}
R_l(r) = \chi_l(r)/r
\end{aligned}
とするとR_l(r) = \chi_l(r)/r
\end{aligned}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 \chi_l}{\mathrm{d}r^2}+\biggl[f(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]\chi_l =0
\end{aligned}
になります.\frac{\mathrm{d}^2 \chi_l}{\mathrm{d}r^2}+\biggl[f(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]\chi_l =0
\end{aligned}
$f(r)$としてよく現れるものには次があります.具体的な動径関数は以下の記事で求めています.
$f(r)$ | 名称 | 記事 |
---|---|---|
$f(r)=k^{2}$ | ヘルムホルツ方程式 $ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$ |
ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP |
$f(r)=0$ | ラプラス方程式 $\Delta \varphi(\boldsymbol{r}) =0$ |
ラプラス方程式 - Notes_JP |
$\displaystyle f(r)=\frac{2\mu e^{2}}{\hbar^{2}}\frac{1}{r}$ | 水素原子のSchrödinger方程式 | 参考文献[1] $\text{\sect} 5.8$ |
参考文献
- [1]量子力学1 (KS物理専門書)
第5章で「中心力場のSchrödinger方程式」を扱っています.この記事では,この内容を次の書籍の内容を考慮して書き直しています.
- [2]熱・波動と微分方程式 (岩波オンデマンドブックス)
ラプラス作用素についてわかりやすい説明がされています.$\text{\sect} 3.2$の内容を参考にしました.
- [3]理論電磁気学
第8章$\text{\sect} 7$「電磁波の散乱」でHelmholtz方程式を扱っています.
- [4]詳解物理応用数学演習
第7章「常微分方程式」$\text{\sect} 3.$ 「級数による解法」,第9章「球関数と円柱関数」を参考にしました.
- [5]大学数学の入門10 常微分方程式