シュレーディンガー方程式(中心力場)

POINT

  • 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します.
  • ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので,波動現象(電磁波,音波など)の理解にも役立ちます.

Schrödinger方程式

ポテンシャルが球対称$V(\boldsymbol{r})=V(r)$である場合には,3次元シュレーディンガー方程式が
\begin{align}
\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(r) \biggr] \varphi(\boldsymbol{r})
&=E\varphi(\boldsymbol{r})
\end{align}で与えられます.

これは,
\begin{align}
[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0
\end{align}という微分方程式に帰着できます.この方程式はヘルムホルツ方程式を特殊な場合として含んでいます($f(r)=k^2$).以下,この方程式の解を求めてみましょう.

解法

それでは,微分方程式$[\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0$を変数分離の方法で解いていきます.

ラプラシアン

極座標のラプラシアンは
\begin{align}
\Delta u
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u
\end{align}で与えられます.但し,
\begin{align}
\Delta_{S} u
&=\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \biggr)
+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}
\end{align}は2次元球面上の微分演算子を表します.$n$次元の場合の表式は「付録」を参照して下さい.

角度変数

$\varphi(\boldsymbol{r})=R(r)Y(\theta,\varphi)$と変数分離した解を代入し,$\times\dfrac{r^2}{R(r)Y(\theta,\varphi)}$とすると
\begin{align}
\frac{r}{R}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+r^2f(r) = -\frac{1}{Y}\Delta_{S} Y (=\lambda)
\end{align}となり,左辺が$r$だけの関数,右辺が$\theta,\varphi$だけの関数に分離できます.

したがって,両辺は定数でなくてはならず,その定数を$\lambda$とすると2つの微分方程式
\begin{align}
& \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR)+\biggl[f(r)-\frac{\lambda}{r^2}\biggr]R =0
\tag{1}\label{eq:r}\\
& \Delta_{S} Y + \lambda Y=0
\tag{2}\label{eq:theta_phi}
\end{align}が得れれます.

まず角度に関する方程式(\ref{eq:theta_phi})を解いていきましょう(動径方程式(\ref{eq:r})は次の節で考えます).

これは,球面調和関数の満たす微分方程式となっており,解は$l,m$を$|m|\leq l$を満たす整数として
\begin{align}
&Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
&=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
&\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{align}であることがわかります(付録「球面調和関数」参照).

動径関数

$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式(\ref{eq:r})において
\begin{align}
R_l(r) = \chi_l(r)/r
\end{align}とすると
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 \chi_l}{\mathrm{d}r^2}+\biggl[f(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]\chi_l =0
\end{align}になります.

ヘルムホルツ方程式の場合

$f(r)=k^2$のとき,考えている微分方程式はヘルムホルツ方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$になります.
概要
ヘルムホルツ方程式$ (\Delta + k^2) \varphi(\boldsymbol{r}) =0$を極座標で解くと
\begin{align}
&\varphi(r,\theta,\varphi) \\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{l=|m|}^{\infty}[A_{lm} j_{l}(kr) + B_{lm} n_{l}(kr)] \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \times P_{l}^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
\end{align}となる($j_l$は球Bessel関数,$n_l$は球Neumann関数,$P_{l}^{\:m}$はLegendre陪関数).

【解説】
$f(r)=k^2$のとき,$\lambda=l(l+1)$の場合の動径方程式(\ref{eq:r})は
\begin{align}
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}r^2}(rR_l)+\biggl[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\biggr]R_l =0
\end{align}なので,無次元変数$\xi = kr$に変数変換すれば,
\begin{align}
\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\xi \bar{R}_l)+\biggl[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\biggr]\bar{R}_l =0
\end{align}となります(但し,$\bar{R}_l(\xi)=R_l(\xi/k)=R_l(r)$).さらに,
\begin{align}
\bar{R}_l(\xi) = u_l(\xi)/\sqrt{\xi}
\end{align}とすると,Besselの微分方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}^2 u_l}{\mathrm{d}\xi^2}
+\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d} u_l}{\mathrm{d}\xi}
+\biggl[1-\frac{(l+1/2)^2}{\xi^2} \biggr]u_l
=0
\end{align}に帰着できます(*1).

したがって,動径方程式は2つの独立な解として,

  1. 球Bessel関数($\xi=0$で正則な解)$j_l(\xi)$
  2. 球Neumann関数($\xi=0$で非正則な解)$n_l(\xi)$
をもち,それぞれの表式は
\begin{align}
j_l(\xi)
&=(\pi/2\xi)^{1/2} J_{l+1/2}(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\sin\xi}{\xi}\biggr)\\
n_l(\xi)
&=-(-1)^l (\pi/2\xi)^{1/2} J_{-l-1/2}(\xi) \\
&=-(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{\cos\xi}{\xi}\biggr)
\end{align}で与えられます.但し,$J_{\nu}$はBessel関数を表します(関連記事:ベッセル関数の関係式 - Notes_JP).

独立解としては,次の球Hankel関数
\begin{align}
h_l^{(1)} (\xi)
&= j_l(\xi) + i n_l(\xi) \\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{i\xi}}{i\xi}\biggr)\\
h_l^{(2)} (\xi)
&= j_l(\xi) - i n_l(\xi) (=[h_l^{(1)} (\xi)]^* )\\
&=(-\xi)^l \biggl(\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\biggr)^l
\biggl(\frac{e^{-i\xi}}{-i\xi}\biggr)
\end{align}を用いることもあります.

【参考】
次の記事では,ベクトルポテンシャルに関する議論をしています:

付録

計算の詳細や補足事項をまとめておきます.

極座標のラプラシアン

$n$次元の極座標で表したラプラシアンは
\begin{align}
\Delta u
&=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}
+\frac{n-1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u \\
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (ru)
+\frac{n-3}{r}\frac{\partial u}{\partial r}
+\frac{1}{r^2} \Delta_{S} u
\end{align}で与えられます.但し,$\Delta_{S} u$は$(n-1)$次元球面上の微分演算子を表します.

球面調和関数

一般論

任意の$r>0$に対して
\begin{align}
P(r x_1,r x_2,...,r x_n) = r^{k}P(x_1,x_2,...,x_n)
\end{align}を満たす関数$P(x_1,...,x_n)$を考えます($k$次同次(斉次)式と呼びます).

以下では,$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$と書きます.

球面調和関数
$k$次同次(斉次)多項式$P(\boldsymbol{x})$が$\Delta P(\boldsymbol{x})=0$を満たすとき(調和関数と呼ぶ),
  • $P(\boldsymbol{x})$を「$k$次の体調和関数」
  • $P(\boldsymbol{x})$を単位球面上に制限した関数を「$k$次の球面調和関数」
と呼ぶ.

$k$次同次(斉次)多項式$P(\boldsymbol{x})$を考えましょう.$\boldsymbol{\sigma}$を単位球面上の任意の点とするとき,$\boldsymbol{x}=r\boldsymbol{\sigma}$ $(r>0)$に対して
\begin{align}
P(\boldsymbol{x}) = r^{k}P(\boldsymbol{\sigma})
\end{align}が成り立ちます.

$P(\boldsymbol{x})$が$\Delta P(\boldsymbol{x})=0$を満たすとき,
\begin{align}
0
&=\Delta P(\boldsymbol{x}) \\
&=\Delta [r^k P(\boldsymbol{\sigma})] \\
&=\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} [r\cdot r^k P(\boldsymbol{\sigma})]
+\frac{n-3}{r}\frac{\partial }{\partial r} [r^k P(\boldsymbol{\sigma})] \\
& \quad +\frac{1}{r^2} \Delta_{S} [r^k P(\boldsymbol{\sigma})] \\
&=r^{k-2}[\Delta_{S} P(\boldsymbol{\sigma}) + k(n+k-2)P(\boldsymbol{\sigma})]
\end{align}が成り立つことから,「$k$次の球面調和関数$P(\boldsymbol{\sigma})$」が微分方程式
\begin{align}
\Delta_{S} P(\boldsymbol{\sigma}) + k(n+k-2)P(\boldsymbol{\sigma}) =0
\end{align}を満たすことがわかります.

逆に,この微分方程式を満たす単位球面上の関数$P(\boldsymbol{\sigma})$があったとします.このとき,原点を除く任意の点$\boldsymbol{x}=r\boldsymbol{\sigma}$ $(r>0)$に対して$P(\boldsymbol{x}) = r^{k}P(\boldsymbol{\sigma})$で定義される関数が$\Delta P(\boldsymbol{x})=0$を満たすことは,上の2行目以降の計算からわかります.

【補足】
上の結果より,$P(\boldsymbol{\sigma})$が固有値$-k(n+k-2)$をもつ$\Delta_{S}$の固有関数がであることがわかりました.さらに,$\Delta_{S}$の固有値・固有関数がこれで尽くされていることが示せるそうです.

3次元の場合

次を示します(一部略):
概要
\begin{align}
\Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0
\end{align}を満たすとき,$|m|\leq l$を満たす整数$l,m$を用いて
  1. 固有値は$\lambda = l(l+1)$と表すことができ,
  2. その規格化された固有関数は
    \begin{align}
    &Y_l^{\:m}(\theta,\varphi) \\
    &=(-1)^{(m+|m|)/2}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \\
    &\qquad\qquad\qquad\quad \times P_l^{\:m}(\cos\theta)e^{im\varphi}
    \end{align}となる.
【解説】
微分方程式$ \Delta_{S} Y(\theta,\varphi)+ \lambda Y(\theta,\varphi) =0 $を具体的に書き下すと
\begin{align}
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \biggr)
&+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} \\
&+\lambda Y=0
\end{align}です.変数分離$Y(\theta,\varphi)=\Theta(\theta) \Phi(\varphi)$を行い,$\times \dfrac{\sin^2\theta}{\Theta\Phi}$とすると
\begin{align}
&\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} \theta} \biggr)
+\lambda \sin^2\theta \\
&=-\frac{1}{\Phi}\frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\mathrm{d} \varphi^2} (=m^2)
\end{align}と,左辺が$\theta$だけの関数,右辺が$\varphi$だけの関数になります.したがって,両辺は定数でなければならず,これを$m^2$と置くと,2つの微分方程式
\begin{align}
&\frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta}\biggl(\sin\theta \frac{\mathrm{d} \Theta}{\mathrm{d} \theta} \biggr) \\
&\qquad +\biggl[ \lambda - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\biggr] \Theta=0
\tag{2-1}\label{eq:theta}\\
&\frac{\mathrm{d}^2 \Phi}{\mathrm{d} \varphi^2}+m^2\Phi=0
\tag{2-2}\label{eq:phi}
\end{align}が得られます.

式(\ref{eq:phi})の解は$\Phi(\varphi)=e^{\pm im\varphi}$で与えられますが,一価関数であるためには任意の整数$n$に対して$\Phi(0)=\Phi(2n\pi)$を満たす必要があります.したがって,$m$は整数だけが許されます.

式(\ref{eq:theta})において,$z=\cos\theta$と変数変換すれば
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}
=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}
=-\sin\theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}
\end{align}を用いて
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \biggl[(1-z^2) \frac{\mathrm{d} \bar{\Theta}}{\mathrm{d} z} \biggr]
+\biggl[ \lambda - \frac{m^2}{(1-z^2)} \biggr] \bar{\Theta}=0
\end{align}と変形できます($\bar{\Theta}(z)$$=\Theta(\cos^{-1}(z))$$=\Theta(\theta)$).これは,変数$\nu$を用いて$\lambda=\nu(\nu+1)$と表せばLegendreの陪微分方程式であり,その解はLegendreの微分方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \biggl[(1-z^2) \frac{\mathrm{d} \bar{\Theta}}{\mathrm{d} z} \biggr]
+\nu(\nu+1) \bar{\Theta}=0
\end{align}の解$P_{\nu}$を用いて
\begin{align}
P_{\nu}^{\:m}(z)
=(1-z^2)^{|m|/2} \frac{\mathrm{d}^{|m|} P_{\nu}}{\mathrm{d} z^{|m|}}
\end{align}と表すことができます.

Legendreの微分方程式において,区間$[-1,1]$の区間にある$z=\cos\theta$全体で1価連続な解は$\nu$が非負整数(以下$l$で表す)であるときだけあることが知られています.特に,規格化(さらに$z=1$で$1$に等しくなる)された解はLegendreの多項式
\begin{align}
P_{l}(z) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d} z^l} (z^2-1)^l
\quad(l=0,1,2,...)
\end{align}で与えられます.

ここで,
\begin{align}
P_{l}^{\:m}(z)= \frac{(1-z^2)^{|m|/2}}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^{(l+|m|)}}{\mathrm{d} z^{(l+|m|)}} (z^2-1)^l
\end{align}において,「微分の次数$l+|m|$」が「$(z^2-1)^l$の次数$2l$」より大きくなると$P_{l}^{\:m}\equiv 0$となってしまいます.したがって,$l+|m|\leq 2l$すなわち$|m|\leq l$でなくてはなりません.


参考文献

*1:簡単な計算ですが,念のため: \begin{align} \frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\sqrt{\xi} u_l)+\biggl[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\biggr]u_l/\sqrt{\xi} =0 \end{align}で,第2項はライプニッツ則から \begin{align} &\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\xi^2}(\sqrt{\xi} u_l) \\ &=-\frac{1}{4}\xi^{-3/2}u+2\cdot\frac{1}{2}\xi^{-1/2}\frac{\mathrm{d}u_l}{\mathrm{d}\xi} + \xi^{1/2}\frac{\mathrm{d}^2u_l}{\mathrm{d}\xi^2} \\ &=\sqrt{\xi} \biggl(-\frac{1/4}{\xi^2}u+\frac{1}{\xi}\frac{\mathrm{d}u_l}{\mathrm{d}\xi} + \frac{\mathrm{d}^2u_l}{\mathrm{d}\xi^2}\biggr) \end{align}となります.