フーリエ変換の公式と導出

フーリエ変換

POINT

  • フーリエ変換の関係式とその導出.

気が向いたら(他の関係式も)追記していきます.理論編はまた別記事で書きたいと思っています.

定義

関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F}[f]$を
\begin{align}
\hat{f}(k)
&=\mathcal{F}[f](k) \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx} \,\mathrm{d}x
\end{align}で定義する.

定義の仕方は他にもあります.詳しくは後述(2πの付け方の違い).



$n$次元の場合はベクトル$k=^{t}\!\!(k_1,k_2,...,k_n)$と$x=^{t}\!\!(x_1,x_2,...,x_n)$を使って
\begin{align}
\hat{f}(k)
&=\mathcal{F}[f](k) \\
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x
\end{align}となります($k\cdot x=\sum_i k_i x_i$はベクトルの内積).

逆変換

フーリエ逆変換(フーリエ反転公式)
\begin{align}
f(x)
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}が成立します.


性質

頻繁に使われる性質を導出します.

よく使う関係式

フーリエ変換の基本的な性質として紹介される大体のものは,必要になったときに簡単に計算できます.以下では$a$を実数とします.

\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x+a)e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ik(x-a)} \,\mathrm{d}x \\
&=e^{ika} \hat{f}(k)
\end{align}

\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty [e^{iax}f(x)]e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i(k-a)x} \,\mathrm{d}x \\
&=\hat{f}(k-a)
\end{align}

$\mathrm{sgn\,}(a)=a/|a|(=|a|/a)$とするとき,
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(ax)e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(ax)e^{-i(k/a)(ax)} \,\frac{\mathrm{d}(ax)}{a} \\
&=\frac{1}{a}\cdot\mathrm{sgn\,}(a)\hat{f}(k/a) \\
&=\frac{1}{|a|}\hat{f}(k/a).
\end{align}ここで$\mathrm{sgn\,}(a)$は$a$の符号で変数変換後の積分範囲が$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$となるか$\displaystyle \int_{\infty}^{-\infty}$となるかが変わるために出てきます.わかりにくい場合は$a>0$と$a<0$に場合分けして計算すると良いでしょう.

$f$の複素共役を$\bar{f}$で表すとき,
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \bar{f}(x)e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\overline{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx} \,\mathrm{d}x} \\
&=\overline{\hat{f}}(-k)
\end{align}

フーリエ逆変換(フーリエ反転公式)
\begin{align}
f(x)
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}において$x\rightarrow -k$, $k\rightarrow x$とすれば
\begin{align}
f(-k)
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(x) e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x
\end{align}となる.右辺は$ \hat{f}$のフーリエ変換であるから,
\begin{align}
\mathcal{F}\bigl[\mathcal{F}[f]\bigr](k)=f(-k).
\end{align}

偶関数・奇関数の変換

偶関数$f(-x)=f(x)$のフーリエ変換は
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{0} f(-x) e^{ikx} \,\mathrm{d}x \\
&\quad+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x) (e^{ikx}+e^{-ikx}) \,\mathrm{d}x \\
&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x) \cos(kx) \,\mathrm{d}x
\end{align}となる(Fourier余弦変換).


奇関数$f(-x)=-f(x)$のフーリエ変換は
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{0} f(-x) e^{ikx} \,\mathrm{d}x \\
&\quad +\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} f(x) (e^{ikx}-e^{-ikx}) \,\mathrm{d}x \\
&=-i\sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(x) \sin(kx) \,\mathrm{d}x
\end{align}となる(Fourier正弦変換).

計算例

基本的な関数のフーリエ変換の計算方法を整理します.より複雑な関数のフーリエ変換は,「基本的な関数のフーリエ変換」と「フーリエ変換の性質」を駆使して計算を進めることになります.

指数関数

$a>0$とする.
\begin{align}
\mathcal{F}[e^{-a|x|}](k)
&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^2+k^2}
\end{align}
【証明】
$f(x)=e^{-a|x|}$は偶関数なので
\begin{align}
&\mathcal{F}[e^{-a|x|}](k) \\
&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{0}^\infty e^{-ax}\cos(kx)\,\mathrm{d}x
\end{align}となる.ここで,$I=\displaystyle\int_{0}^\infty e^{-ax}\cos(kx)\,\mathrm{d}x$, $J=\displaystyle\int_{0}^\infty e^{-ax}\sin(kx)\,\mathrm{d}x$とすると
\begin{align}
I+iJ
&=\int_{0}^\infty e^{-ax}e^{ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=-\frac{1}{a-ik}\bigl[e^{-(a-ik)x}\bigr]_0^\infty \\
&=\frac{a+ik}{a^2+k^2}.
\end{align}実部を取ると$I=\displaystyle \frac{a}{a^2+k^2}$だから
\begin{align}
&\mathcal{F}[e^{-a|x|}](k) \\
&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{a}{a^2+k^2}
\end{align}となる.//

ガウス関数

ガウス関数(正規分布)のフーリエ変換は次の記事で紹介しています.


2πの付け方の違い

係数の付け方には他にも流派がありますが,この記事の記法さえ覚えておけば都度導出できます.以下,$\alpha,\beta > 0$とします.

全体の定数倍

フーリエ変換を
\begin{align}
\hat{f}(k)
&=\mathcal{F}[f](k) \\
&=\frac{ \color{red}{\alpha}^{n/2} }{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x
\end{align}で定義した場合,上の逆変換により
\begin{align}
\color{red}{\alpha}^{n/2} f(x)
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}がわかるので,
\begin{align}
f(x)
&=\frac{1}{(2\pi \color{red}{\alpha})^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}が新しい逆変換となります.

$\alpha=2\pi$がよく使われます:

  • フーリエ変換:$\displaystyle\hat{f}(k) =\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x$
  • フーリエ逆変換:$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(2\pi )^{n}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k$

係数の定数倍

もう少し一般化しましょう.フーリエ変換を
\begin{align}
\hat{f}(k)
&=\mathcal{F}[f](k) \\
&=\frac{ \color{red}{\alpha}^{n/2} }{(2\pi)^{n/2}}
\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-i\color{\green}{\beta}k\cdot x} \,\mathrm{d}x
\end{align}で定義した場合,
\begin{align}
&=\frac{ \color{red}{\alpha}^{n/2} }{(2\pi)^{n/2}}
\int_{\mathbb{R}^n} f(\color{\green}{\beta}x/\color{\green}{\beta})e^{-ik\cdot (\color{\green}{\beta}x)}
\frac{\,\mathrm{d}(\color{\green}{\beta}x)}{\color{\green}{\beta}^n} \\
&=\frac{\color{red}{\alpha}^{n/2} }{\color{\green}{\beta}^n}
\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} f(x/\color{\green}{\beta})e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x
\end{align}なので,上の逆変換により
\begin{align}
\frac{\color{red}{\alpha}^{n/2} }{\color{\green}{\beta}^n}f(x/\color{\green}{\beta})
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{ik\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}となります.したがって,
\begin{align}
f(x)
&= \frac{\color{\green}{\beta}^n}{(2\pi \color{red}{\alpha})^{n/2}}
\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{i\color{\green}{\beta}k\cdot x} \,\mathrm{d}k
\end{align}が新しい逆変換となります.



$\alpha=\beta=2\pi$がよく使われます.

  • フーリエ変換:$\displaystyle\hat{f}(k) =\int_{\mathbb{R}^n} f(x)e^{-2\pi ik\cdot x} \,\mathrm{d}x$
  • フーリエ逆変換:$\displaystyle f(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(k) e^{2\pi ik\cdot x} \,\mathrm{d}k$


参考文献

解析入門  ?(基礎数学3)

解析入門 ?(基礎数学3)

詳解物理応用数学演習

詳解物理応用数学演習