完全反対称テンソル(Levi-Civita 記号)の縮約公式の導出

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POINT

  • 「完全反対称テンソル(レビ・チビタ記号)の縮約公式」を簡単に導出する方法.
  • この公式は,ベクトル解析の計算で欠かすことができない.
  • 慣れれば暗算で計算できるようになる.

ベクトル解析の重要な公式に,『完全反対称テンソル (レビ・チビタ記号) の縮約公式』があります.

毎回忘れてしまって,その度に公式を確認するという人も多いのではないでしょうか?でも,この縮約公式は簡単に導けるのです.


ベクトル解析での具体的な活用例は以下で紹介しています:

【準備】完全反対称テンソルの性質

$\epsilon_{ijk}$の性質は「完全反対称性」です.つまり,どの2つの添字を入れ替えてもマイナス符号が付きます:

完全反対称性
\begin{align} \epsilon_{\color{red}{\LARGE i}\color{blue}{\LARGE j}k}=-\epsilon_{\color{blue}{\LARGE j}\color{red}{\LARGE i}k},\qquad \epsilon_{i\color{red}{\LARGE j}\color{blue}{\LARGE k}}=-\epsilon_{i\color{blue}{\LARGE k}\color{red}{\LARGE j}},\qquad \epsilon_{\color{red}{\LARGE i}j\color{blue}{\LARGE k}}=-\epsilon_{\color{blue}{\LARGE k}j\color{red}{\LARGE i}} \end{align}


この性質から,$\epsilon_{ijk}$の添字のうち,どれか2つが同じなら$0$になることがわかります.たとえば,$\epsilon_{iik}=-\epsilon_{iik}$(ここでは,$i$についての和を取らないとします)なので$2\epsilon_{iik}=0$となります.

まとめると,

\begin{align} \epsilon_{\color{red}{\LARGE ii}k}=\epsilon_{k\color{red}{\LARGE ii}}=\epsilon_{\color{red}{\LARGE i}k \color{red}{\LARGE i}}=0 \end{align} (但し,$i$についての和を取らない)

と表すことができます.


では,これらの性質を用いて縮約公式を導いてみましょう.

【導出】縮約公式

導出でやっていることはすごく簡単です.式変形についても詳しく解説します.

3次元の場合

2ステップで導出することができます.
  • Step1:$~\neq 0$となる場合を列挙する$\Rightarrow$ざっくりと形を決める
    $\epsilon_{ijk}$は完全反対称なので,$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}\neq0$となるのは
    \begin{align}
    \begin{cases}
    1:& (j,k)=(l,m) \\
    2:& (j,k)=(m,l)
    \end{cases}
    \end{align}
    の2通りの場合に限られます*1.これは,定数$a,b$を用いて
    $$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=a\cdot\delta_{jl}\delta_{km}+b\cdot\delta_{jm}\delta_{kl}$$
    と表すことができます.
  • Step2:定数を決める( "添字の置換"に対する反対称性を考慮する)
    左辺は$j,k$ (或いは$l, m$)の置換に対し反対称であるので,右辺もそうでなければならないことから(あるいは,$j=k=l=m$の場合に上式は$0=a+b$となることから),
    $$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=a(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})$$
    となります.定数$a$は,次のいずれかの方法で求めることができます:
    1. $(j,k)=(l,m)=(2,3)$の場合を考えれば,$a=1$となる.
    2. すべての添字について和を取ると,$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk}=3!$となることから,
      \begin{align}
      3!&=\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk} \\
      &=a(\delta_{jj}\delta_{kk}-\underset{=\delta_{jj}}{ \underline{\delta_{jk}\delta_{kj}} }) \\
      &=a(3\cdot 3 - 3).
      \end{align}
      したがって,$a=1$.

    以上より,

    縮約公式
    $$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$$

    が導かれました.//


練習問題:2つの添字について縮約した場合

2つの添字について縮約した場合:
$$\epsilon_{\color{red}{\large i}\color{blue}{\large j}k}\epsilon^{\color{red}{\large i}\color{blue}{\large j}m}=?$$
を,上で導いた公式に頼らず,暗算で計算してみましょう (その方が早いはずです).



一応,計算方法を書いておきます.参考にしてください:
  • 1から導出する方法:
    定数$a$を用いて,$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}=a\delta_{km}$であることがわかる.ここで,次のどちらかの方法から$a=2$とわかる:
    1. $k=m=3$の場合を考えると$a=\epsilon_{ij3}\epsilon^{ij3}=\epsilon_{123}\epsilon^{123}+\epsilon_{213}\epsilon^{213}=2$.
    2. すべての添字について和を取ると,$3!=\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk}=a\delta_{kk}=3a$.

    したがって,
    $$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}=2\delta_{km}$$
    となる.

  • 上で導いた公式を使う方法:
    上で導いた公式で$l=j$とすれば,
    \begin{align}
    \epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}
    &=\delta_{jj}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kj}\\
    &=3\delta_{km}-\delta_{km}\\
    &=2\delta_{km}
    \end{align}
    となる.

高次元の場合

考え方は,3次元の場合と同様です.例えば,4次元の場合は下で紹介する参考文献を参照してください.

参考文献

次の$\S6.$:4元ベクトルが参考になります.
場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

場の古典論―電気力学,特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)

*1:つまり,0とならないのは,「一方の完全反対象テンソルの和をとっていない添字」が,「他方の完全反対象テンソルの和をとっていない添字の置換」となっている場合に限られる.実際,そうでなければ和をとっていない添字の中に$i$と同じ添字が含まれるが,上で見たようにそのようなものは0になる.

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