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完全反対称テンソルの縮約公式

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完全反対称テンソルの縮約
完全反対称テンソルの縮約
POINT

  • 「完全反対称テンソル（レビ・チビタ記号，エディントンのイプシロン）の縮約公式」を簡単に導出する方法．
  • この公式は，ベクトル解析の計算で欠かすことができない．

ベクトル解析の重要な公式に，『完全反対称テンソル（レビ・チビタ記号）の縮約公式』があります．毎回忘れてしまって，その度に公式を確認するという人も多いのではないでしょうか？でも，この縮約公式は簡単に導けるのです．

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完全反対称テンソルの性質

$\epsilon_{ijk}$の性質は「完全反対称性」です．つまり，どの2つの添字を入れ替えてもマイナス符号が付きます：
完全反対称性
\begin{aligned}
\epsilon_{\textcolor{red}{\LARGE{i}} \textcolor{blue}{\LARGE{j}}k}
&=-\epsilon_{\textcolor{blue}{\LARGE{j}} \textcolor{red}{\LARGE{i}}k}, \\
\epsilon_{i\textcolor{red}{\LARGE{j}} \textcolor{blue}{\LARGE{k}}}
&=-\epsilon_{i\textcolor{blue}{\LARGE{k}} \textcolor{red}{\LARGE{j}}}, \\
\epsilon_{\textcolor{red}{\LARGE{i}}j \textcolor{blue}{\LARGE{k}}}
&=-\epsilon_{\textcolor{blue}{\LARGE{k}}j \textcolor{red}{\LARGE{i}}}.
\end{aligned}

この性質から，$\epsilon_{ijk}$の添字のうち，どれか2つが同じなら$0$になることがわかります．たとえば，$\epsilon_{iik}=-\epsilon_{iik}$（ここでは，$i$についての和を取らないとします）なので$2\epsilon_{iik}=0$となります．

まとめると，

\begin{aligned}
\epsilon_{\textcolor{red}{\LARGE{ii}}k}
=\epsilon_{k\textcolor{red}{\LARGE{ii}}}
=\epsilon_{\textcolor{red}{\LARGE{i}}k \textcolor{red}{\LARGE{i}}}
=0
\end{aligned}
（注意：$i$についての和は取らない）
と表すことができます．

では，これらの性質を用いて縮約公式を導いてみましょう．

縮約公式の導出

導出でやっていることはすごく簡単です．式変形についても詳しく解説します．

3次元の場合

2ステップで導出できます．


STEP
$~\neq 0$となる場合を列挙する$\Rightarrow$ざっくりと形を決める
　$\epsilon_{ijk}$は完全反対称なので，$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}\neq0$となるのは
\begin{aligned}
\begin{cases}
1.\, :& (j,k)=(l,m) \\
2.\, :& (j,k)=(m,l)
\end{cases}
\end{aligned}
の2通りの場合に限られます（*1）．
　よって，定数$a,b$を用いて
\begin{aligned}
\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}
=a\cdot\delta_{jl}\delta_{km}+b\cdot\delta_{jm}\delta_{kl}
\end{aligned}
と表すことができます．


STEP
定数を決める（ "添字の置換"に対する反対称性を考慮する）
　左辺は$j,k$（或いは$l, m$）の置換に対し反対称であるので，右辺もそうでなければなりません．よって（あるいは，$j=k=l=m$の場合に上式は$0=a+b$となることから），
\begin{aligned}
\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=a(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})
\end{aligned}
となります．
　定数$a$は，次のいずれかの方法で求めることができます：
  1. $(j,k)=(l,m)=(2,3)$の場合を考えれば，$a=1$となる．
  2. すべての添字について和を取ると，$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk}=3!$となることから，
    \begin{aligned}
    3!&=\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk} \\
    &=a(\delta_{jj}\delta_{kk}-\underset{=\delta_{jj}}{ \underline{\delta_{jk}\delta_{kj}} }) \\
    &=a(3\cdot 3 - 3).
    \end{aligned}
    したがって，$a=1$．

　以上より，

縮約公式
\begin{aligned}
\epsilon_{ijk}\epsilon^{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}
\end{aligned}
が導かれました．//



2つの添字の縮約

2つの添字について縮約した場合：
\begin{aligned}
\epsilon_{\textcolor{red}{\large i}\textcolor{blue}{\large j}k}
\epsilon^{\textcolor{red}{\large i}\textcolor{blue}{\large j}m}
=?
\end{aligned}
を，上で導いた公式に頼らず，暗算で計算してみましょう (その方が早いはずです)．


一応，計算方法を書いておきます．参考にしてください：
  • 1から導出する方法：
    定数$a$を用いて，$\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}=a\delta_{km}$であることがわかる．ここで，次のどちらかの方法から$a=2$とわかる：
    1. $k=m=3$の場合を考えると$a=\epsilon_{ij3}\epsilon^{ij3}=\epsilon_{123}\epsilon^{123}+\epsilon_{213}\epsilon^{213}=2$．
    2. すべての添字について和を取ると，$3!=\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijk}=a\delta_{kk}=3a$．
    したがって，
    \begin{aligned}
    \epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}=2\delta_{km}
    \end{aligned}
    となる．
  • 上で導いた公式を使う方法：
    上で導いた公式で$l=j$とすれば，
    \begin{aligned}
    \epsilon_{ijk}\epsilon^{ijm}
    &=\delta_{jj}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kj}\\
    &=3\delta_{km}-\delta_{km}\\
    &=2\delta_{km}
    \end{aligned}
    となる．

高次元の場合

考え方は，3次元の場合と同様です．例えば，4次元の場合は文献[1]を参照してください．

参考文献

[1]場の古典論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)：$\S6.$：4元ベクトルが参考になります．

*1:つまり，0とならないのは，「一方の完全反対象テンソルの和をとっていない添字」が，「他方の完全反対象テンソルの和をとっていない添字の置換」となっている場合に限られる．実際，そうでなければ和をとっていない添字の中に$i$と同じ添字が含まれるが，上で見たようにそのようなものは0になる．

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