POINT
積分以外の公式は次の記事を参照してください：- ベクトル解析の積分公式．
ベクトル解析の公式 - Notes_JP
ガウスの発散定理
一番スタンダードな形から導ける派生公式を紹介します．少し形が違うので，初めて見ると「あれ？これ成り立つの？」と思ってしまうかもしれません．流体力学でよく現れます．スカラーの場合
ガウスの発散定理
$V$の境界$S$の外向き法線ベクトルを$\boldsymbol{n}$とするとき，
【証明1】\begin{aligned}
\int_V \boldsymbol{\nabla}p \,\mathrm{d}V
&=\int_{S} p \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{aligned}
\int_V \boldsymbol{\nabla}p \,\mathrm{d}V
&=\int_{S} p \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S
\end{aligned}
$(\boldsymbol{\nabla}p)_i=(\boldsymbol{\nabla}p)\cdot \boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{\nabla}\cdot (p \boldsymbol{e}_i)$より
\begin{aligned}
\biggl[\int_V \boldsymbol{\nabla}p \,\mathrm{d}V\biggr]_i
&=\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot (p \boldsymbol{e}_i) \,\mathrm{d}V
\end{aligned}
となるから，ベクトル解析で知られる通常の「ガウスの発散定理」を適用すると\biggl[\int_V \boldsymbol{\nabla}p \,\mathrm{d}V\biggr]_i
&=\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot (p \boldsymbol{e}_i) \,\mathrm{d}V
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=\int_S (p \boldsymbol{e}_i)\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S p \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S\biggr]_i
\end{aligned}
となる．//&=\int_S (p \boldsymbol{e}_i)\cdot \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S p \boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S\biggr]_i
\end{aligned}
【証明2】
後で導く「テンソルへの拡張」版を使う．$\partial_i p=\partial_j (p\delta_{ij})$（$\delta_{ij}$はクロネッカーのデルタ）だから
\begin{aligned}
\int_V \partial_i p \,\mathrm{d}V
&=\int_V \partial_j (p\delta_{ij}) \,\mathrm{d}V \\
&=\int_S (p\delta_{ij}) n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\int_S p n_i \,\mathrm{d}S
\end{aligned}
となり，示された．//\int_V \partial_i p \,\mathrm{d}V
&=\int_V \partial_j (p\delta_{ij}) \,\mathrm{d}V \\
&=\int_S (p\delta_{ij}) n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\int_S p n_i \,\mathrm{d}S
\end{aligned}
テンソルへの拡張
応力テンソルを考える際によく使う式です（使用例：流体力学の方程式（運動方程式・連続の方程式・状態方程式） - Notes_JP）．要は，添字が増えても微分しているところ以外固定しておけば，ベクトルの場合と全く一緒だよね〜，ということです．ガウスの発散定理
$A$を行列$(a_{ij})$（あるいはテンソルの成分），$\boldsymbol{n}$を$V$の境界$S$の外向き法線ベクトルとする．このとき，次が成立する：
【補足】上の結果で$A$に${}^{t}\!A$を代入すれば
【証明】\begin{aligned}
\int_V \partial_j a_{ji} \,\mathrm{d}V
&=\int_S n_j a_{ji} \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S \biggr]_i
\end{aligned}
\int_V \partial_j a_{ji} \,\mathrm{d}V
&=\int_S n_j a_{ji} \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S \biggr]_i
\end{aligned}
【補足】上の結果で$A$に${}^{t}\!A$を代入すれば
\begin{aligned}
\int_V \partial_j a_{ij} \,\mathrm{d}V
&=\int_S a_{ij} n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S A\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \biggr]_i
\end{aligned}
が得られる．\int_V \partial_j a_{ij} \,\mathrm{d}V
&=\int_S a_{ij} n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\biggl[\int_S A\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \biggr]_i
\end{aligned}
行列$A$を$A=(\boldsymbol{a}_1\, \boldsymbol{a}_2\, \boldsymbol{a}_2 )$（つまり，ベクトル$\boldsymbol{a}_i$の$j$成分が$a_{ji}$）と表す．まず，
\begin{aligned}
\int_V \partial_j a_{ji} \,\mathrm{d}V
&=\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{a}_i\,\mathrm{d}V
\end{aligned}
と書くことができる．右辺でベクトル解析で知られる通常の「ガウスの発散定理」を適用すると\int_V \partial_j a_{ji} \,\mathrm{d}V
&=\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{a}_i\,\mathrm{d}V
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=\int_S \boldsymbol{a}_i\cdot\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_S a_{ji} n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\Bigl[ \int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S \Bigr]_i
\end{aligned}
となる．//&=\int_S \boldsymbol{a}_i\cdot\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_S a_{ji} n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\Bigl[ \int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S \Bigr]_i
\end{aligned}
