POINT
「テンソル（tensor）」の語源は「張力（tension）」であると言われています．ここでは，応力を考えることで，自然にテンソルの概念が現れることを見てみます．- なぜ，応力がテンソルで表されるのか．
- 応力を考えると自然にテンソルが必要になる．
【関連記事】
- テンソルと行列が混同される理由 - Notes_JP
- 流体力学の方程式（運動方程式・連続の方程式・状態方程式） - Notes_JP
- 応力テンソル（流体・弾性体） - Notes_JP：応力テンソルの具体的な表式について．
応力
連続体（例えば，流体）中の応力は次で定められます．応力の定義
連続体中の点$\boldsymbol{x}$を通る平面$S$を考える．さらに，平面$S$の法線方向を定め，平面$S$を挟んで法線方向にある領域を正の側，法線方向と反対側の領域を負の側と呼ぶ．
このとき「正の側にある連続体が，負の側の連続体に対して及ぼす単位面積あたりの力」を「応力（ベクトル）」と呼ぶ．
ここで，応力は位置$\boldsymbol{x}$だけでは決まらず，応力の働く面$S$（とその方向）のとり方に依存することに注意しましょう．つまり，応力ベクトルはこのとき「正の側にある連続体が，負の側の連続体に対して及ぼす単位面積あたりの力」を「応力（ベクトル）」と呼ぶ．
- 位置$\boldsymbol{x}$
- 応力の働く面$S$（とその法線方向）
- 位置$\boldsymbol{x}$
- 応力の働く面$S$の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$
応力ベクトル（場）の表式
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_{\underset{\mathrlap{\small{\! \uparrow\text{面}S\text{を定める}}}}{\boldsymbol{n}}}
\overset{\mathrlap{\small{\!\! \downarrow \text{位置}\boldsymbol{x}\text{を定める}}}}{(\boldsymbol{x})}
\end{aligned}
\boldsymbol{p}_{\underset{\mathrlap{\small{\! \uparrow\text{面}S\text{を定める}}}}{\boldsymbol{n}}}
\overset{\mathrlap{\small{\!\! \downarrow \text{位置}\boldsymbol{x}\text{を定める}}}}{(\boldsymbol{x})}
\end{aligned}
【補足】
細かい話ですが，$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}$は「各点$\boldsymbol{x}$」に「ベクトル$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})$」を対応させる関数です．このような関数を「ベクトル場」と呼びます．
ここで，応力を表現するには（点$\boldsymbol{x}$を固定して考えるとき）「力の方向を表すベクトル」に加えて「面のとり方を表すベクトル」が必要になることがポイントです．これによって，応力テンソルには2つの添字が現れるのです．ベクトル量である「力」と比較してしてみましょう：
| 種類 | 成分表示 | |
|---|---|---|
| 力 | ベクトル | $F_{\underset{\mathrlap{\footnotesize{\uparrow\text{力の方向}}}}{i}}$ |
| 応力 | テンソル | $p_{\underset{\mathrlap{\footnotesize{\!\uparrow\text{面の法線方向}}}}{i}\overset{\smash{\mathrlap{\substack{\footnotesize{\!\downarrow\text{力の方向}}\\[0.75em]}}}}{j}}$ |
応力テンソル
具体的に$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n} (\boldsymbol{x})$の表式を考えると，応力テンソルが自然に得られることを示します．応力ベクトル$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n} $が働く面$S$（法線ベクトル$\boldsymbol{n}=(n^1,n^2,n^3)$）を1つの面とする（無限小の）四面体を考えます（下図）．
この「四面体全体」では，力の釣り合いが成り立っているはずです．つまり，四面体のすべての面に働く力（＝応力×面積）を合計すればゼロとなるので，
\begin{aligned}
0=&\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}S \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_1} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_1) \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_2} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_2) \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_3} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_3)
\end{aligned}
が成り立ちます（*2）．ここで，$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$は$x,y,z$軸方向の単位ベクトルとし，面$S$の面積を同じ記号$S$で表しました．以下では，簡単のため$\boldsymbol{p}_i=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_i}$と書くことにします．ここで，作用・反作用の法則（$\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_i}=-\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_i}$）を利用すれば，面$S$に働く応力ベクトル$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})$が0=&\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}S \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_1} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_1) \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_2} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_2) \\
&+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_3} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_3)
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})
&=n_1\boldsymbol{p}_1(\boldsymbol{x})
+ n_2\boldsymbol{p}_2(\boldsymbol{x})
+ n_3\boldsymbol{p}_3(\boldsymbol{x}) \\
&=\sum_i n_i \boldsymbol{p}_i(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
と，$x,y,z$軸方向の応力ベクトルに分解できることがわかりました．\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})
&=n_1\boldsymbol{p}_1(\boldsymbol{x})
+ n_2\boldsymbol{p}_2(\boldsymbol{x})
+ n_3\boldsymbol{p}_3(\boldsymbol{x}) \\
&=\sum_i n_i \boldsymbol{p}_i(\boldsymbol{x})
\end{aligned}
ここで，ベクトル$\boldsymbol{p}_i(\boldsymbol{x})$の$j$成分を$p_{ij}(\boldsymbol{x})$で表す（つまり，$p_{ij}$は$i$軸に垂直な面に働く$j$方向の力を表す）と，
\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\sum_{i,j} n_i p_{ij}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{e}_j
\tag{1} %\label{eq:stress-tensor-relation}
\end{aligned}
と表わせます．ここで，ここで，$p_{ij}(\boldsymbol{x})$は「応力テンソルの成分」と呼ばれます．このように，「応力」を考えることで，「テンソル」が自然に現れることがわかりました．\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\sum_{i,j} n_i p_{ij}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{e}_j
\tag{1} %\label{eq:stress-tensor-relation}
\end{aligned}
【補足】
上で$p_{ij}(\boldsymbol{x})$は「応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$の成分」と呼ばれるものだと説明しました．それでは，応力テンソルはというと，以下で定義されます：
応力テンソル
応力の働く面$S$の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$に作用し，応力ベクトル$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})$を返す関数$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$を「応力テンソル」と呼ぶ．すなわち，応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$は
式$(1)$において，両辺の$i$成分に着目すると\begin{aligned}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\mathsf{P}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{n}
\end{aligned}
で定義される．\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\mathsf{P}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{n}
\end{aligned}
\begin{aligned}
[\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})]_i
=\sum_{j} p_{ji}(\boldsymbol{x}) n^j
\end{aligned}
となります．したがって，応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$は行列[\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})]_i
=\sum_{j} p_{ji}(\boldsymbol{x}) n^j
\end{aligned}
\begin{aligned}
\mathsf{P}(\boldsymbol{x})
&=
\begin{pmatrix}
p_{11}&p_{21}&p_{31} \\
p_{12}&p_{22}&p_{32} \\
p_{13}&p_{23}&p_{33}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
で与えられます（関連記事：テンソルと行列が混同される理由 - Notes_JP）．\mathsf{P}(\boldsymbol{x})
&=
\begin{pmatrix}
p_{11}&p_{21}&p_{31} \\
p_{12}&p_{22}&p_{32} \\
p_{13}&p_{23}&p_{33}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
ここで，$[\mathsf{P}]_{\textcolor{red}{i} \textcolor{blue}{j}}=p_{\textcolor{blue}{j}\textcolor{red}{i}}$であることに注意しましょう．
また，「ベクトル場」の考え方と同様に，$\boldsymbol{x}$に$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$を対応させる関数$\mathsf{P}$は「テンソル場」です．
参考文献/記事
- [1]流体力学 (物理テキストシリーズ 9)
- [2]流体力学 (前編) (物理学選書 (14))：「$\text{\sect} 3. (2)$ 流体の定義」「$\text{\sect} 56.$ 応力」，「$\text{\sect} 57.$ テンソル」の内容がこの記事の内容と対応しています．
- [3]応力 - Wikipedia
- [4]Cauchy stress tensor - Wikipedia
