応力テンソルとは

POINT

  • 応力がなぜテンソルで表されるのかを解説.

「張力(tension)」が「テンソル(tensor)」の語源であると言われています.実際に,応力を考えると自然にテンソルという概念が現れることを見てみましょう.

応力

連続体中の応力は,以下で定義されます.応力は位置$\boldsymbol{x}$だけでは決まらず,応力の働く面$S$のとり方に依存することに注意しましょう.
応力の定義
連続体中の点$\boldsymbol{x}$を通る1つの平面$S$を考える.面$S$の両側の連続体が点$\boldsymbol{x}$において互いに及ぼし合う単位面積あたりの力を「応力(ベクトル)」という.
つまり,応力ベクトルは
  1. 位置$\boldsymbol{x}$
  2. 応力の働く面$S$
2つを決めて初めて定まります.面$S$はその法線ベクトル$\boldsymbol{n}$(*1)によって一意に定まるため,応力ベクトルは
  1. 位置$\boldsymbol{x}$
  2. 応力の働く面$S$の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$
の2つをパラメータとして
\begin{align}
\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n} (\boldsymbol{x})
\end{align}と表すことができます.

応力テンソル

$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n} (\boldsymbol{x})$の具体的な表式を考えると,自然に応力テンソルが得られることを示します.

応力ベクトル$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n} $が働く面$S$(法線ベクトル$\boldsymbol{n}=(n^1,n^2,n^3)$)を1つの面とする(無限小の)四面体を考えます(下図).

応力テンソル
応力$\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}$のかかる面($\boldsymbol{n}$は法線ベクトル)

この四面体において力の釣り合いを考えます.つまり,各面に働く力の和がゼロとなるので,
\begin{align}
0&=\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}S
+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_1} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_1)
+\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_2} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_2) \\
&\quad +\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_3} (S\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{e}_3)
\end{align}となります(但し,$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$は$x,y,z$軸方向の単位ベクトルとし,面$S$の面積を同じ記号$S$で表しました).作用・反作用の法則から$\boldsymbol{p}_{-\boldsymbol{e}_i}=-\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_i}$が成り立つことから$\boldsymbol{p}_i=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{e}_i}$と書けば
\begin{align}
\boldsymbol{p}_\boldsymbol{n}(\boldsymbol{x})
&=n^1\boldsymbol{p}_1(\boldsymbol{x})
+ n^2\boldsymbol{p}_2(\boldsymbol{x})
+ n^3\boldsymbol{p}_3(\boldsymbol{x}) \\
&=\sum_i n^i\boldsymbol{p}_i(\boldsymbol{x})
\end{align}と分解できることがわかります.ここで,ベクトル$\boldsymbol{p}_i(\boldsymbol{x})$の$j$成分を$p^j_{~i}(\boldsymbol{x})$で表す(つまり,$p^j_{~i}$は$i$軸に垂直な面に働く$j$方向の力を表す)と,
\begin{align}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\sum_{i,j} n^j p^i_{~j}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{e}_i
\tag{1}\label{eq:stress-tensor-relation}
\end{align}と表わせます.ここで,応力テンソルを以下で定義します:

応力テンソル
応力の働く面$S$の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$に作用し,応力ベクトル$\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})$を返す関数$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$を「応力テンソル」と呼ぶ.すなわち,応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$は\begin{align}
\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
&=\mathsf{P}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{n}
\end{align}で定義される.
式(\ref{eq:stress-tensor-relation})において,両辺の$i$成分に着目すると
\begin{align}
p^i_{\boldsymbol{n}}(\boldsymbol{x})
=\sum_{j} p^i_{~j}(\boldsymbol{x}) n^j
\end{align}となります.したがって,応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$は行列
\begin{align}
\mathsf{P}(\boldsymbol{x})
&=
\begin{pmatrix}
p^1_{~1}&p^1_{~2}&p^1_{~3} \\
p^2_{~1}&p^2_{~2}&p^2_{~3} \\
p^3_{~1}&p^3_{~2}&p^3_{~3}
\end{pmatrix}
\end{align}で与えられます(関連記事:テンソルと行列が混同される理由 - Notes_JP).ここで,$p^i_{~j}(\boldsymbol{x})$は「応力テンソル$\mathsf{P}(\boldsymbol{x})$の成分」と呼ばれます.

【注意】
多くの場合,応力テンソルは
\begin{align}
\mathsf{P}(\boldsymbol{x})
&=
\begin{pmatrix}
p_{xx}&p_{yx}&p_{zx} \\
p_{xy}&p_{yy}&p_{zy} \\
p_{xz}&p_{yz}&p_{zz}
\end{pmatrix}
\end{align}と表されます.上の導出とは添字の付け方が逆になっていることに注意しましょう.つまり,この記法では,$p_{ij}$は$i$軸に垂直な面に働く$j$方向の力を表しています.

応力ベクトルの積分

流体の運動方程式(参考:流体力学の方程式 - Notes_JP)などに用いる関係式を導出します:
流体中の領域$V$の表面$S=\partial V$に流体が及ぼし合う力
\begin{align}
\int_{\partial V} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S
&=\int_{V} \sum_i \partial_i\boldsymbol{p}_i \,\mathrm{d}V
\label{eq:gauss_press_tensor}
\end{align}
【証明】
Gaussの発散定理から
\begin{align*}
\left[\int_{\partial V} \boldsymbol{p}_{\boldsymbol{n}}\,\mathrm{d}S \right]_i
&=\int_{\partial V} \sum_j \left(\boldsymbol{p}_j\cdot \boldsymbol{e}_i\right)n^j
\,\mathrm{d}S \\
&= \int_{V} \sum_j \partial_j\boldsymbol{p}_j\cdot \boldsymbol{e}_i \,\mathrm{d}V \\
&=\left[\int_{V} \sum_j \partial_j\boldsymbol{p}_j \,\mathrm{d}V \right]_i
\end{align*}が成り立ちます.//

参考文献/記事

*1:面に垂直な単位ベクトル.ある領域の表面を考える場合,向きは領域の外側を向くように取る(例:後で出てくる四面体の図).