POINT
- パワースペクトルの定義と意味，自己相関関数との関係について．
- 応用例として熱雑音を取り上げる．
【関連記事】
パワースペクトル
$x(t)$を$[-T/2, T/2]$でだけゼロでない値を取る不規則変量とする（$x(t)$が確率変数であるとする．つまり，確率過程を考えている．）．このとき，逆Fourier変換とFourier変換は
\begin{aligned}
x(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{i2\pi f t} \,\mathrm{d}f \\
X(f) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i2\pi f t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-i2\pi f t} \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
となる．x(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{i2\pi f t} \,\mathrm{d}f \\
X(f) &= \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i2\pi f t} \,\mathrm{d}t \\
&= \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-i2\pi f t} \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
自己相関関数は，$\langle\cdot\rangle$をアンサンブル平均として
\begin{aligned}
C(\tau)
&= \langle x(t)x(t+\tau) \rangle
\end{aligned}
と定義する．多くの場合，エルゴード性を持つとして，時間平均C(\tau)
&= \langle x(t)x(t+\tau) \rangle
\end{aligned}
\begin{aligned}
C(\tau)
&= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t+\tau) \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
で計算する．C(\tau)
&= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t+\tau) \,\mathrm{d}t
\end{aligned}
パワースペクトルを
\begin{aligned}
S(f)
&= \lim_{T\to\infty} \frac{\langle X(f) X^{*}(f)\rangle}{T}
\end{aligned}
で定義すると，S(f)
&= \lim_{T\to\infty} \frac{\langle X(f) X^{*}(f)\rangle}{T}
\end{aligned}
\begin{aligned}
& X(f) X^{*}(f) \\
&= \int_{-T/2}^{T/2} \int_{-T/2}^{T/2} \,\mathrm{d} t_{1} \,\mathrm{d} t_{2} e^{-i2\pi f (t_{2} - t_{1})}
x(t_{1})x(t_{2}) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi f \tau}
\biggl[\int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) \,\mathrm{d} t \biggr] \,\mathrm{d} \tau \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi f \tau}
\biggl[\int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t + \tau) \,\mathrm{d} t \biggr] \,\mathrm{d} \tau
\end{aligned}
より& X(f) X^{*}(f) \\
&= \int_{-T/2}^{T/2} \int_{-T/2}^{T/2} \,\mathrm{d} t_{1} \,\mathrm{d} t_{2} e^{-i2\pi f (t_{2} - t_{1})}
x(t_{1})x(t_{2}) \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi f \tau}
\biggl[\int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) \,\mathrm{d} t \biggr] \,\mathrm{d} \tau \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i2\pi f \tau}
\biggl[\int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t + \tau) \,\mathrm{d} t \biggr] \,\mathrm{d} \tau
\end{aligned}
\begin{aligned}
& S(f)
= \int_{-\infty}^{\infty} C(\tau) e^{-i2\pi f \tau} \,\mathrm{d}\tau
\end{aligned}
が成り立ち，逆変換& S(f)
= \int_{-\infty}^{\infty} C(\tau) e^{-i2\pi f \tau} \,\mathrm{d}\tau
\end{aligned}
\begin{aligned}
& C(\tau)
= \int_{-\infty}^{\infty} S(f) e^{i2\pi f \tau} \,\mathrm{d}f
\end{aligned}
で$\tau=0$とすると& C(\tau)
= \int_{-\infty}^{\infty} S(f) e^{i2\pi f \tau} \,\mathrm{d}f
\end{aligned}
\begin{aligned}
& \overline{x^{2}}
= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x^{2}(t) \,\mathrm{d}t
= \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \,\mathrm{d}f
\end{aligned}
となる．これは周波数$[f,f+\mathrm{d}f]$からの平均パワー$\overline{x^{2}}$への寄与が$S(f)\mathrm{d}f$であることを表している．& \overline{x^{2}}
= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x^{2}(t) \,\mathrm{d}t
= \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \,\mathrm{d}f
\end{aligned}
【参考】
スペクトル解析 (日野幹雄)
熱雑音
電気抵抗体の両側には，内部の伝導電子の「熱雑音」によって電圧$V(t)$が生じる．この電圧のゆらぎ
\begin{aligned}
\langle |V(t)|^{2} \rangle
\end{aligned}
のパワースペクトルは，抵抗値$R$，絶対温度$T$を用いて\langle |V(t)|^{2} \rangle
\end{aligned}
\begin{aligned}
S(f) = 4Rk_{\mathrm{B}}T
\end{aligned}
となる（ナイキストの定理 (Nyquist theorem)）．つまり，白色雑音である．S(f) = 4Rk_{\mathrm{B}}T
\end{aligned}
よって，帯域幅が$\Delta f$であれば，電圧のRMS値は
\begin{aligned}
& \sqrt{ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |V(t)|^{2} \,\mathrm{d}t } \\
& = \sqrt{S(f) \Delta f} \\
& = \sqrt{4Rk_{\mathrm{B}}T \Delta f}
\end{aligned}
となり，よく見る表式が得られる（熱雑音 - Wikipedia）．& \sqrt{ \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |V(t)|^{2} \,\mathrm{d}t } \\
& = \sqrt{S(f) \Delta f} \\
& = \sqrt{4Rk_{\mathrm{B}}T \Delta f}
\end{aligned}
【参考】
非平衡系の統計力学 (北原和夫)
