ガウス積分と派生公式

POINT

  • 物理で多用するガウス積分の計算をまとめました.

【メモ】

  • 多次元について追記予定.

ガウス積分

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\pi}
\end{align}
【証明】
$\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x$とすると,
\begin{align}
I^2&=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp[ -(x^2+y^2)] \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
\end{align}極座標($x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$)に変換すれば
\begin{align}
I^2
&=\int_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\infty} \exp(-r^2) r \,\mathrm{d}r \\
&=2\pi \int_{0}^{\infty} \exp(-r^2) \,\frac{\mathrm{d}(r^2)}{2} \\
&=\pi
\end{align}となる($\displaystyle \int_0^\infty e^{-r}\,\mathrm{d}r=\left[-e^{-r}\right]_0^{\infty}=1$).//

派生公式

ガウス積分には様々な派生公式があります.

変数の定数倍

定数$\alpha>0$を用いて$x=\sqrt{\alpha} y$と変数変換すると,$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha y^2) \sqrt{\alpha}\,\mathrm{d}y$$\:=\sqrt{\pi}$より
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha x^2) \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{align}

変数の平行移動(虚軸)

実数$\alpha$を用いて,変数を虚軸方向に平行移動($x\rightarrow x-i\alpha$)させても結果は同じ.
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp [ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\pi}
\end{align}

【証明】
以下の積分経路$C=C_1+C_2+C_3+C_4$を考えると,$e^{-z^2}$は$|z|<\infty$で正則なので
\begin{align}
\int_{C} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=0
\end{align}となる.

ガウス積分の積分経路
積分経路.$X\to\infty$とするとき,$C_1$から求めたい積分が得られ,$C_3$は既知のガウス積分となる.$C_2$, $C_4$の寄与は$X\to\infty$で$0$となる.
$C_1\sim C_4$それぞれの経路の積分は,それぞれ
\begin{align}
\int_{C_1} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{-X}^X \exp[ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x, \\
\int_{C_2} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{-a}^0 \exp[ -(X+iy)^2] \,\mathrm{d}y,\\
\int_{C_3} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{X}^{-X} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x
=-\int_{-X}^{X} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x,\\
\int_{C_4} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{0}^{-a} \exp[ -(-X+iy)^2] \,\mathrm{d}y
\end{align}と表せる.


ここで,$C_2$, $C_4$の積分経路上では,$\biggl|\exp[ -(\pm X+ iy)^2]\biggr|$$=\exp(-X^2+y^2)$$\leq\exp(-X^2+a^2)$が成り立つことから
\begin{align}
&\Biggl| \int_{C_{2,4}} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z \Biggr| \\
&\leq \Biggl| \int_{0}^{-a}\,\mathrm{d}y\Biggr| \exp(-X^2+a^2)\\
&=a\exp(-X^2+a^2)\\
&\rightarrow0 \quad(X\to \infty)
\end{align}であることがわかる.

以上より
\begin{align}
\lim_{X\to\infty}\int_{C_1}e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=-\lim_{X\to\infty}\int_{C_3}e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
\end{align}すなわち
\begin{align}
& \int_{-\infty}^{\infty} \exp[ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm{d}x \\
&=\sqrt{\pi}
\end{align}となる.//

フーリエ変換

\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x
&=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}
\end{align}
【証明】
$-x^2-ikx=-(x+ik/2)^2-k^2/4$なので
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{e^{-k^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp [-(x+ik/2)^2] \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}
\end{align}となる(「変数の平行移動(虚軸)」の結果を用いた).//

この結果から,$a>0$に対して
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-(\sqrt{ax})^2} e^{-i(k/\sqrt{a})(\sqrt{ax})} \,\frac{\mathrm{d}(\sqrt{ax})}{\sqrt{a}} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 a}} e^{-k^2/4a}
\end{align}がわかる.

$n$次元フーリエ変換も同様に計算できる.実際,$x$, $k$を$n$次元ベクトルとし

  • ベクトル$x$の第$i$成分を$x_i$
  • ベクトルの内積を$x\cdot k$
  • $x^2=x\cdot x$

と表すとき,上の結果を利用することができ
\begin{align}
&\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-ax^2} e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} \exp\Bigl[\sum_{i=1}^n (-ax_i^2 -ik_ix_i)\Bigr] \,\mathrm{d}x \\
&=\prod_{i=1}^n \Biggl[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax_i^2} e^{-ik_ix_i} \,\mathrm{d}x_i \Biggr] \\
&=\prod_{i=1}^n \Biggl[\frac{1}{\sqrt{2 a}} e^{-k_i^2/4a} \Biggr] \\
&=\frac{1}{(2a)^{n/2}}e^{-k^2/4a}
\end{align}となる($a>0$).



フーリエ変換については以下の記事も参考にしてください:

パラメータについての微分

$\alpha >0$に対して
\begin{align}
\int_0^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x
=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi} \alpha^{-1/2-n}
\end{align}が成立する.証明は以下:

応用

正規分布(ガウス分布)

平均$\mu$, 分散$\sigma^2$の正規分布は
\begin{align}
N(\mu,\sigma^2)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\Biggl[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Biggr]
\end{align}で与えられる.