ガウス積分と派生公式

POINT

• ガウス積分の計算をまとめました．

ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです．

【メモ】

• 多次元について追記予定．

ガウス積分

1次元

\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\pi}
\end{aligned}

【証明】
$\displaystyle I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x$とすると，

\begin{aligned}
I^2&=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \exp[ -(x^2+y^2)] \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
\end{aligned}

極座標（$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$）に変換すれば

\begin{aligned}
I^2
&=\int_{0}^{2\pi}\,\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\infty} \exp(-r^2) r \,\mathrm{d}r \\
&=2\pi \int_{0}^{\infty} \exp(-r^2) \,\frac{\mathrm{d}(r^2)}{2} \\
&=\pi
\end{aligned}

となる（$\displaystyle \int_0^\infty e^{-r}\,\mathrm{d}r=\left[-e^{-r}\right]_0^{\infty}=1$）．//

派生公式

ガウス積分には様々な派生公式があります．

変数の定数倍

定数$\alpha>0$を用いて$x=\sqrt{\alpha} y$と変数変換すると，$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha y^2) \sqrt{\alpha}\,\mathrm{d}y$$\:=\sqrt{\pi}$より

\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp( -\alpha x^2) \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\end{aligned}

変数の平行移動（虚軸）

実数$\alpha$を用いて，変数を虚軸方向に平行移動（$x\rightarrow x-i\alpha$）させても結果は同じ．

\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty} \exp [ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x
&=\sqrt{\pi}
\end{aligned}

【証明】
以下の積分経路$C=C_1+C_2+C_3+C_4$を考えると，$e^{-z^2}$は$|z|<\infty$で正則なので

\begin{aligned}
\int_{C} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=0
\end{aligned}

となる．

積分経路．$X\to\infty$とするとき，$C_1$から求めたい積分が得られ，$C_3$は既知のガウス積分となる．$C_2$, $C_4$の寄与は$X\to\infty$で$0$となる．

$C_1\sim C_4$それぞれの経路の積分は，それぞれ

\begin{aligned}
\int_{C_1} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{-X}^X \exp[ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x, \\
\int_{C_2} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{-a}^0 \exp[ -(X+iy)^2] \,\mathrm{d}y,\\
\int_{C_3} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{X}^{-X} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x
=-\int_{-X}^{X} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x,\\
\int_{C_4} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=\int_{0}^{-a} \exp[ -(-X+iy)^2] \,\mathrm{d}y
\end{aligned}

と表せる．

ここで，$C_2$, $C_4$の積分経路上では，$\biggl|\exp[ -(\pm X+ iy)^2]\biggr|$$=\exp(-X^2+y^2)$$\leq\exp(-X^2+a^2)$が成り立つことから

\begin{aligned}
&\Biggl| \int_{C_{2,4}} e^{-z^2} \,\mathrm{d}z \Biggr| \\
&\leq \Biggl| \int_{0}^{-a}\,\mathrm{d}y\Biggr| \exp(-X^2+a^2)\\
&=a\exp(-X^2+a^2)\\
&\rightarrow0 \quad(X\to \infty)
\end{aligned}

であることがわかる．

以上より

\begin{aligned}
\lim_{X\to\infty}\int_{C_1}e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
&=-\lim_{X\to\infty}\int_{C_3}e^{-z^2} \,\mathrm{d}z
\end{aligned}

すなわち

\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{\infty} \exp[ -(x-i\alpha)^2] \,\mathrm{d}x \\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm{d}x \\
&=\sqrt{\pi}
\end{aligned}

となる．//

フーリエ変換

\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x
&=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}
\end{aligned}

フーリエ変換については以下の記事も参考にしてください：
フーリエ変換の公式と導出 - Notes_JP

【証明】
$-x^2-ikx=-(x+ik/2)^2-k^2/4$なので

\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{e^{-k^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp [-(x+ik/2)^2] \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2}} e^{-k^2/4}
\end{aligned}

となる（「変数の平行移動（虚軸）」の結果を用いた）．//

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この結果から，$a>0$に対して

\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2} e^{-ikx} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-(\sqrt{ax})^2} e^{-i(k/\sqrt{a})(\sqrt{ax})} \,\frac{\mathrm{d}(\sqrt{ax})}{\sqrt{a}} \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 a}} e^{-k^2/4a}
\end{aligned}

がわかる．

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$n$次元フーリエ変換も同様に計算できる．実際，$x$, $k$を$n$次元ベクトルとし

• ベクトル$x$の第$i$成分を$x_i$
• ベクトルの内積を$x\cdot k$
• $x^2=x\cdot x$

と表すとき，上の結果を利用することができ

\begin{aligned}
&\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-ax^2} e^{-ik\cdot x} \,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} \exp\Bigl[\sum_{i=1}^n (-ax_i^2 -ik_ix_i)\Bigr] \,\mathrm{d}x \\
&=\prod_{i=1}^n \Biggl[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-ax_i^2} e^{-ik_ix_i} \,\mathrm{d}x_i \Biggr] \\
&=\prod_{i=1}^n \Biggl[\frac{1}{\sqrt{2 a}} e^{-k_i^2/4a} \Biggr] \\
&=\frac{1}{(2a)^{n/2}}e^{-k^2/4a}
\end{aligned}

となる（$a>0$）．

パラメータについての微分

$\alpha >0$に対して

\begin{aligned}
\int_0^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,\mathrm{d}x
=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}}\sqrt{\pi} \alpha^{-1/2-n}
\end{aligned}

が成立する．これは，ガウス積分の公式の両辺を$\alpha$で微分することにより得られる．詳細な証明は以下：
【Lebesgue積分】微積分の順序交換 - Notes_JP

応用

正規分布（ガウス分布）

平均$\mu$, 分散$\sigma^2$の正規分布は

\begin{aligned}
N(\mu,\sigma^2)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\Biggl[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Biggr]
\end{aligned}

で与えられる．