磁場が軸性ベクトルであること

POINT

磁場が軸性ベクトル（擬ベクトル）であることの説明方法．
ベクトルには，空間反転で符号を変える「極性ベクトル」と符号を変えない「軸性ベクトル」がある．
右手系と左手系のどちらをとるかで磁場の向きは変わってしまうが，方程式は変わらない．

【関連記事】

極性ベクトルと軸性ベクトル
磁場は軸性ベクトル
参考文献/記事

極性ベクトルと軸性ベクトル

座標回転$\boldsymbol{x}\mapsto \boldsymbol{x}^\prime= R \boldsymbol{x}$を考えましょう（$R$は回転行列）．このとき，下図から，ベクトルは座標回転と同じ変換をする量であることがわかります．

ところが，空間反転に対しては2通りの変換の仕方が考えられ，それぞれ「極性ベクトル」，「軸性ベクトル」という名前で使い分けられています．

私達が単に「ベクトル」と言われて想像するのは「極性ベクトル」の方です（座標軸のプラスマイナスを反転させれば，ベクトルの各成分の符号がかわることはイメージしやすいでしょう）．

むしろ，座標軸のとり方を変えるだけでベクトルの向きが変わるというのは，かなり不自然に感じるのではないでしょうか．このような「軸性ベクトル」がどのようなときに現れるか？というと，「ベクトルの外積」でベクトルを定義するときに現れます（関連記事[A]）．

座標変換$\boldsymbol{x}\mapsto \boldsymbol{x}^\prime= M \boldsymbol{x}$によって，ベクトル$\boldsymbol{X}$が$\boldsymbol{X}\mapsto \boldsymbol{X}^\prime= D(M) \boldsymbol{X}$と変化するとすれば，「極性ベクトル」と「軸性ベクトル」の変換性は次で表されます．

名称	$D(M)$		例
名称	回転	反転	例
極性ベクトル (真性ベクトル)	$R$	$-1$	電場$\boldsymbol{E}$
軸性ベクトル (擬ベクトル)	$R$	$+1$	磁場$\boldsymbol{B}$

【注】実は，回転（を含む一般の座標変換）に関しても2通りの変換が考えられ，「反変ベクトル」「共変ベクトル」とよばれます（関連記事[B]）．

磁場は軸性ベクトル

磁場$\boldsymbol{B}$が，軸性ベクトルの例です．説明方法はいくつかありますが，いずれも電磁気の法則が空間反転で不変（座標軸のとり方で法則は変わらない）ということを出発点にして，磁場の変換則を導いています．

ビオ・サバールの法則による説明

最も混乱が少ない説明は，「$\boldsymbol{B}=$(変換性が既知の量)」の形の式（Biot-Savart/ビオ・サバールの法則）を解釈するものでしょう（参考記事[1]）．つまり，ビオ・サバールの法則

\begin{aligned}
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})
=\frac{\mu}{4\pi}
\int \frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{\xi})\times (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi})}
{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi}|^3}
\,\mathrm{d}^3\xi
\end{aligned}

において，電流密度$\boldsymbol{i}$と位置ベクトル$\boldsymbol{x},\boldsymbol{\xi}$は空間反転により符号を変える「極性ベクトル」なので，空間反転によって

\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{x}^{\prime} = -\boldsymbol{x} \\
\, \boldsymbol{\xi}^{\prime} = -\boldsymbol{\xi} \\
\, \boldsymbol{i}^{\prime}(\boldsymbol{\xi}^{\prime})
=- \boldsymbol{i}(\boldsymbol{\xi})
\end{cases}
\end{aligned}

となります．したがって，ビオ・サバールの法則が空間反転しても成り立つとすれば

\begin{aligned}
\boldsymbol{B}^{\prime}(\boldsymbol{x}^{\prime})
&=\frac{\mu}{4\pi}
\int \frac{\boldsymbol{i}^{\prime}(\boldsymbol{\xi}^{\prime})
\times (\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{\xi}^{\prime})}
{|\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{\xi}^{\prime}|^3}
\,\mathrm{d}^3\xi^{\prime} \\
&=\frac{\mu}{4\pi}
\int \frac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{\xi})\times (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi})}
{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\xi}|^3}
\,\mathrm{d}^3\xi \\
&=\boldsymbol{B}(\boldsymbol{x})
\end{aligned}

と磁場の変換則がわかります．これは，磁場$\boldsymbol{B}$が「軸性ベクトル」であることを示しています．

アンペールの法則による説明

他の方法としては，例えばAmpèreの法則

\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{B}
=\mu_{0}\boldsymbol{i}
\end{aligned}

を出発点にする方法があります．

空間反転により$\boldsymbol{\nabla}\mapsto \boldsymbol{\nabla}^{\prime}=-\boldsymbol{\nabla}, \boldsymbol{i}\mapsto \boldsymbol{i}^{\prime}=-\boldsymbol{i}$はわかっています．磁場の変換性が$\boldsymbol{B}\mapsto \boldsymbol{B}^{\prime}$であるとすれば，

\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\times \boldsymbol{B}^{\prime}
=\mu_{0}\boldsymbol{i}
\end{aligned}

となります．これが，空間反転前の方程式と矛盾しないためには

\begin{aligned}
\boldsymbol{B}^{\prime}=\boldsymbol{B}
\end{aligned}

が成り立つ必要があります．

ローレンツ力による説明

電荷$q$を持つ質量$m$の粒子は，電磁場中で運動方程式

\begin{aligned}
m\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}
&=q\boldsymbol{E} + q\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\times \boldsymbol{B}
\end{aligned}

を満たします．参考文献[3]では，この方程式をもとに空間反転を論じています．

空間反転により，$\boldsymbol{r}\mapsto \boldsymbol{r}^{\prime}=-\boldsymbol{r}, \boldsymbol{E}\mapsto \boldsymbol{E}^{\prime}=-\boldsymbol{E}$と変換することは既知です．$\boldsymbol{B}\mapsto \boldsymbol{B}^{\prime}$であるとすれば

\begin{aligned}
m\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}
&=q\boldsymbol{E} + q\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}\times \boldsymbol{B}^{\prime}
\end{aligned}

です．

これが，空間反転前の方程式と矛盾しないためには

\begin{aligned}
\boldsymbol{B}^{\prime}=\boldsymbol{B}
\end{aligned}

が成り立つ必要があります．

テンソルの変換性による説明

座標変換によるテンソルの変換性を知っていれば，次のような説明が可能です（参考記事[2]）．以下で，テンソルの成分に括弧をつけたものは，テンソルの成分を行列として並べたものを表すとします．

場の強さ

\begin{aligned}
(F^{\mu\nu})
&=\begin{pmatrix}
0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z} \\
E_{x}&0&-B_{z}&B_{y} \\
E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\
E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0
\end{pmatrix}
\end{aligned}

は，パリティ変換

\begin{aligned}
(P^{\mu}_{~~\nu})
=
\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{pmatrix}
\end{aligned}

に対して

\begin{aligned}
F^{\prime\mu\nu}
&=P^{\mu}_{~~\rho} P^{\nu}_{~~\sigma} F^{\rho\sigma}
\end{aligned}

と変換します．これは，単にテンソルの変換性からわかるものです．

普通に計算しても簡単ですが，次ように区分行列で計算すると更に簡単です．

\begin{aligned}
(F^{\mu\nu})
&=\left(\begin{array} {c:ccc}
0&&-\,{}^{t}\!\boldsymbol{E}& \\ \hdashline
&&& \\
\boldsymbol{E}&&\smash{B}&\\
&&&
\end{array}\right)\\
(P^{\mu}_{~~\nu})
&=\left(\begin{array} {c:ccc}
1&0&0&0\\ \hdashline
0 &&& \\
0 &&\smash{-1}& \\
0 &&&
\end{array}\right)
\end{aligned}

\begin{aligned}
(F^{\prime\mu\nu})
&=(P^{\mu}_{~~\nu}) (F^{\mu\nu}) \,{}^t\!(P^{\mu}_{~~\nu}) \\
&=\left(\begin{array} {c:ccc}
1&0&0&0\\ \hdashline
0 &&& \\
0 &&\smash{-1}& \\
0 &&&
\end{array}\right)
\left(\begin{array} {c:ccc}
0&&-\,{}^{t}\!\boldsymbol{E}& \\ \hdashline
&&& \\
\boldsymbol{E}&&\smash{B}&\\
&&&
\end{array}\right)
\left(\begin{array} {c:ccc}
1&0&0&0\\ \hdashline
0 &&& \\
0 &&\smash{-1}& \\
0 &&&
\end{array}\right) \\
&=\left(\begin{array} {c:ccc}
0&&-\,{}^{t}\!\boldsymbol{E}& \\ \hdashline
&&& \\
-\boldsymbol{E}&&\smash{-B}&\\
&&&
\end{array}\right)
\left(\begin{array} {c:ccc}
1&0&0&0\\ \hdashline
0 &&& \\
0 &&\smash{-1}& \\
0 &&&
\end{array}\right)\\
&=\left(\begin{array} {c:ccc}
0&&\,{}^{t}\!\boldsymbol{E}& \\ \hdashline
&&& \\
-\boldsymbol{E}&&\smash{B}&\\
&&&
\end{array}\right)
\end{aligned}

となります．よって，電場は$\times(-1)$されるのに対し，磁場は$\times(+1)$と変換されることがわかります．

参考文献/記事

[1]electromagnetism - Why is the $B$-Field an axial Vector? - Physics Stack Exchange
[2]electromagnetism - Covariant Maxwell equations invariant under parity transformation - Physics Stack Exchange
[3]理論電磁気学：第2章$\text{\sect} 2$ 座標変換と時間反転