POINT
ベクトルの外積について，こんな性質もあるんだよ！というものをまとめています．性質としては重要なものですが，「計算」ではあまり使わないため忘れてしまいがちかもしれません．- ベクトルの外積（ベクトル積，クロス積）の注意点について．
- 座標変換の表式を導く．
ここで紹介する性質は，「物理法則の共変性」を考える際に重要になります（後日，記事を書く予定です）．
例えば，「磁場」は座標軸を「右手系」か「左手系」のどちらに取るかだけで，ベクトルの方向が変わってしまいます．つまり，Aさんが「右手系」Bさんが「左手系」で議論すると，磁場の方向が噛み合わなくなってしまいます．それでも，Aさんから見てもBさんから見ても，Maxwell方程式の表式は変わらないのです．
| 座標系 | 磁場の向き | Maxwell方程式 | |
|---|---|---|---|
| Aさん | 右手系 | Bさんとは逆向き | Bさんと同じ |
| Bさん | 左手系 | Aさんとは逆向き | Aさんと同じ |
【関連記事】
- 磁場が軸性ベクトルであること - Notes_JP
- 等長変換：回転・反転・Lorentz変換 - Notes_JP：直交変換が回転と反転からなることについて．
- ベクトル解析・行列の公式 - Notes_JP
外積の定義
3次元ベクトル$\boldsymbol{r}_{1}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}$, $ \boldsymbol{r}_{2}=\begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{pmatrix}$の外積は
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{1}\times \boldsymbol{r}_{2}
=\begin{pmatrix}
y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2} \\
z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2} \\
x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
で定められます．\boldsymbol{r}_{1}\times \boldsymbol{r}_{2}
=\begin{pmatrix}
y_{1}z_{2} - z_{1}y_{2} \\
z_{1}x_{2} - x_{1}z_{2} \\
x_{1}y_{2} - y_{1}x_{2}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
これは，$x,y,z$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ$\boldsymbol{e}_{x},\boldsymbol{e}_{y},\boldsymbol{e}_{z}$とするとき
\begin{aligned}
\begin{cases}
\, \boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{y}
=-\boldsymbol{e}_{y}\times \boldsymbol{e}_{x}
= \boldsymbol{e}_{z} \\
\, \boldsymbol{e}_{y}\times \boldsymbol{e}_{z}
=-\boldsymbol{e}_{z}\times \boldsymbol{e}_{y}
= \boldsymbol{e}_{x} \\
\, \boldsymbol{e}_{z}\times \boldsymbol{e}_{x}
=-\boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{z}
= \boldsymbol{e}_{y}
\end{cases}
\end{aligned}
という演算を定めることと同値です．実際，上の演算からはベクトルの基底の演算法則を導くことができますし，逆に基底の演算が定まっていれば$\boldsymbol{r}_{i}=x_{i}\boldsymbol{e}_{x}+y_{i}\boldsymbol{e}_{y}+z_{i}\boldsymbol{e}_{z}$と分解して計算することで最初の演算法則を導くことができます．\begin{cases}
\, \boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{y}
=-\boldsymbol{e}_{y}\times \boldsymbol{e}_{x}
= \boldsymbol{e}_{z} \\
\, \boldsymbol{e}_{y}\times \boldsymbol{e}_{z}
=-\boldsymbol{e}_{z}\times \boldsymbol{e}_{y}
= \boldsymbol{e}_{x} \\
\, \boldsymbol{e}_{z}\times \boldsymbol{e}_{x}
=-\boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{z}
= \boldsymbol{e}_{y}
\end{cases}
\end{aligned}
右手系と左手系
さて，基底の外積$\boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{y} = \boldsymbol{e}_{z}$に着目しましょう．この演算法則は- $x$軸方向のベクトルと$y$軸方向のベクトルの外積をとると，$z$軸方向を向く
$x$軸，$y$軸を決めたとき，$z$軸のとり方には下図の2通りが考えられます．それぞれの座標系のとり方は，「右手系」と「左手系」とよばれます．つまり，座標軸のとり方をどう選ぶかで，外積の方向は変わってしまうのです．
【注】何も指定がない場合は，「右手系」を選んでいるとするのが一般的です．
| 座標系 | $\boldsymbol{e}_{z}=\boldsymbol{e}_{x}\times \boldsymbol{e}_{y}$の向き |
|---|---|
| 右手系 | 下図「上」向き |
| 左手系 | 下図「下」向き |
座標変換
座標変換により，ベクトルが- $\boldsymbol{a}\mapsto \boldsymbol{a}^{\prime}=M\boldsymbol{a}$
- $\boldsymbol{b}\mapsto \boldsymbol{b}^{\prime}=M\boldsymbol{b}$
- $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\mapsto \boldsymbol{v}^{\prime}=M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b}$
実は，$M$が直交変換（つまり，ベクトルの長さを変えない変換であり，回転と反転で表すことができる）である場合は，
| $\det M$ | 外積$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$の変換 | |
|---|---|---|
| 回転のみ | $+1$ | $\det M\times \underbrace{M\boldsymbol{v}}_{\mathrlap{\text{$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$と同じ変換}}}$ |
| 回転＋反転 | $-1$ |
正確には，次が示せます：
外積の座標変換
直交行列$M$（つまり，${}^{t}\!M M=M\,{}^{t}\!M=1$）とベクトル$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$に対して
【証明】\begin{aligned}
M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b}
&=\det M \cdot M(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
\end{aligned}
が成立する（参考文献[1] 命題5.2, 参考記事[3]）．M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b}
&=\det M \cdot M(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
\end{aligned}
任意の$\boldsymbol{x}$に対して
\begin{aligned}
{}^{t}\!M (M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}
&=(M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})\cdot M\boldsymbol{x} \\
&=\det \underbrace{(M\boldsymbol{a},M\boldsymbol{b},M\boldsymbol{x})}
_{=M(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{x})} \\
&=\det M \cdot \det (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{x}) \\
&=\det M (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}
\end{aligned}
である．よって，{}^{t}\!M (M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}
&=(M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})\cdot M\boldsymbol{x} \\
&=\det \underbrace{(M\boldsymbol{a},M\boldsymbol{b},M\boldsymbol{x})}
_{=M(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{x})} \\
&=\det M \cdot \det (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{x}) \\
&=\det M (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{x}
\end{aligned}
\begin{aligned}
{}^{t}\!M (M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})
&=\det M (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
\end{aligned}
が成り立つ．左から$M$をかければ，示したい式が導かれる．//{}^{t}\!M (M\boldsymbol{a}\times M\boldsymbol{b})
&=\det M (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})
\end{aligned}
座標回転
座標回転は$\det R=1$を満たす直交行列$R$で表されます．よって，$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}$は\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^{\prime}
&=R\boldsymbol{a}\times R\boldsymbol{b} \\
&=\underbrace{\det R}_{=1}\cdot R(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=R(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=R\boldsymbol{v}
\end{aligned}
と，普通のベクトル（極性ベクトル）と同じ変換をします．\boldsymbol{v}^{\prime}
&=R\boldsymbol{a}\times R\boldsymbol{b} \\
&=\underbrace{\det R}_{=1}\cdot R(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=R(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=R\boldsymbol{v}
\end{aligned}
空間反転
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{pmatrix}
&=\overbrace{
\begin{pmatrix}
-1&0&0 \\
0&-1&0 \\
0&0&-1
\end{pmatrix}}^{=P}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-x \\
-y \\
-z
\end{pmatrix}
\end{aligned}
を考えると，図のように「右手系」と「左手系」が移り合います．\begin{pmatrix}
x^{\prime} \\
y^{\prime} \\
z^{\prime}
\end{pmatrix}
&=\overbrace{
\begin{pmatrix}
-1&0&0 \\
0&-1&0 \\
0&0&-1
\end{pmatrix}}^{=P}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-x \\
-y \\
-z
\end{pmatrix}
\end{aligned}
「右手系」と「左手系」では，ベクトルの外積の向きが変わってしまうことは上で説明しました．これを反映して，上で導いた公式から
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^{\prime}
&=P\boldsymbol{a}\times P\boldsymbol{b}\\
&=\underbrace{\det P}_{=-1} \cdot P(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=-P(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=- P\boldsymbol{v}
\end{aligned}
が成り立っています．よって，普通のベクトル（極性ベクトル）の変換とは符号$(-1)$だけ異なることがわかります．\boldsymbol{v}^{\prime}
&=P\boldsymbol{a}\times P\boldsymbol{b}\\
&=\underbrace{\det P}_{=-1} \cdot P(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=-P(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}) \\
&=- P\boldsymbol{v}
\end{aligned}
物理とのつながり
「軸性ベクトル」の例としては，- 磁場$\boldsymbol{B}$
- 角運動量ベクトル$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{p}$
この記事では，ベクトルの外積は「極性ベクトル×極性ベクトル」だけを考え，これが「軸性ベクトル」になることを示しました．当然「極性ベクトル×軸性ベクトル」という外積も考えられます．例えば，ローレンツ力$q\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}$がその例です．これは，「極性ベクトル」になります．
| $\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{b}$ | $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$ | 物理の例 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 極性 | 極性 | 軸性 |
|
| 2 | 軸性 | 軸性 | 軸性 | |
| 3 | 極性 | 軸性 | 極性 |
|
参考文献/記事
[1]解析入門II (杉浦光夫)：第VI章$\S 5$で$n$次元ベクトル積を定義し，性質を論じています．特に3次元の場合は第VII章$\S 5$で扱われています．[2]Cross product - Wikipedia
[3]rotations - Rotational invariance of cross product - Mathematics Stack Exchange
