POINT
- ディアディック（ダイアド積）の計算方法について解説．
- 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる．
流体力学や電磁気学におけるベクトル解析の計算で，「ディアディック（ダイアド積）」と呼ばれる量が現れます．いきなり出てくると，通常のベクトル解析の公式が使えるかどうかわからず，混乱しがちです．
ディアディック（ダイアド積）は２つのベクトルのテンソル積ですが，計算上は「行列」と思えばベクトル解析の公式に帰着できます．
この記事では，式をきれいに書く手段だと考えて割り切り，計算できるようになることを目指します．
【関連記事】
- [A]ベクトル解析の公式 - Notes_JP：「ベクトル解析の公式」でディアディック（ダイアド積）が現れないものを扱っています．
- [B]ベクトル解析の公式（積分編） - Notes_JP
定義
ベクトルのディアディック（ダイアド積）
ベクトル$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$のディアディック（ダイアド積）を行列$\boldsymbol{a} {}^t\boldsymbol{b}$で定義する．
行列演算の定義に従って行列を計算すると\begin{aligned}
\boldsymbol{a} {}^t\boldsymbol{b}
&=
\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 &\cdots & b_n
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 &\cdots &a_1 b_n \\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 &\cdots &a_n b_n
\end{pmatrix}
\end{aligned}
となります．\boldsymbol{a} {}^t\boldsymbol{b}
&=
\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 &\cdots & b_n
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 &\cdots &a_1 b_n \\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 &\cdots &a_n b_n
\end{pmatrix}
\end{aligned}
【注意】
同じものを表す記法として$\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{a} \otimes\boldsymbol{b}$など，いくつか流儀があります（Dyadics - Wikipedia）．計算する上では，ここで紹介したように「行列」で表すとわかりやすいでしょう．
記法
記法についての注意点をまとめておきます．ナブラについて
ディアディック（ダイアド積）の計算において，ナブラは以下のような横ベクトルとして考えます：\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
ベクトルや行列に作用させた場合は，「行列の積」のルールで計算します．つまり，ベクトル$\boldsymbol{a} $に作用させたときには
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{aligned}
で，行列$A=(a_{ij})$に作用させたときには\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{aligned}
\begin{aligned}
(\boldsymbol{\nabla} \cdot A)_i
&=\sum_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_j} a_{ji}
\end{aligned}
となります．(\boldsymbol{\nabla} \cdot A)_i
&=\sum_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_j} a_{ji}
\end{aligned}
【注意】
通常のベクトル解析では，ナブラは縦ベクトル
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\partial/\partial x \\
\partial/\partial y \\
\partial/\partial z
\end{pmatrix}
\end{aligned}
で，ベクトル$\boldsymbol{a} $に作用させたときには（行列の積ではなく）「ベクトルの内積」を用いて\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\partial/\partial x \\
\partial/\partial y \\
\partial/\partial z
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\partial/\partial x \\
\partial/\partial y \\
\partial/\partial z
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{aligned}
と表されます．\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\partial/\partial x \\
\partial/\partial y \\
\partial/\partial z
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{aligned}
同じ記号でも，文脈によって意味が異なる場合があるので注意しましょう．
Einsteinの規約
以下では簡単のため，$\dfrac{\partial}{\partial x}$, $\dfrac{\partial}{\partial y}$, $\dfrac{\partial}{\partial z}$をそれぞれ$\partial_1$, $\partial_2$, $\partial_3$と表します．例えば，上の計算は\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
=\sum_{i=1}^3 \partial_i a_i
\end{aligned}
と書くことができます．以下では，和の記号$\sum$も省略して\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
=\sum_{i=1}^3 \partial_i a_i
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
= \partial_i a_i
\end{aligned}
と書くことにします（Einsteinの規約）．和を取るときは必ず同じ添字が2回出てくるので，省略してもわかるためです．\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
= \partial_i a_i
\end{aligned}
公式
ベクトル解析と類似の公式が成り立ちます．いずれも，成分に分解すればベクトル解析の公式に帰着させて証明できます．まだ少ないですが，他にも見つけたら/思いついたら追記します．
積の微分
積の微分
$\boldsymbol{\nabla}\cdot (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{\nabla} \cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}+(\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{\nabla} )\boldsymbol{b} $
【証明】行列の積の定義から
\begin{aligned}
[\boldsymbol{\nabla}\cdot (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})]_i
&=\partial_j (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})_{ji} \\
&=\partial_j (a_j b_i ).
\end{aligned}
さらに，積の微分法を用いると[\boldsymbol{\nabla}\cdot (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})]_i
&=\partial_j (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})_{ji} \\
&=\partial_j (a_j b_i ).
\end{aligned}
\begin{aligned}
&=(\partial_j a_j) b_i + a_j(\partial_j b_i) \\
&=[(\boldsymbol{\nabla} \cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}+(\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{\nabla} )\boldsymbol{b}]_i
\end{aligned}
となる．//&=(\partial_j a_j) b_i + a_j(\partial_j b_i) \\
&=[(\boldsymbol{\nabla} \cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}+(\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{\nabla} )\boldsymbol{b}]_i
\end{aligned}
ガウスの発散定理
ガウスの発散定理
$A$を行列$(a_{ij})$，$\boldsymbol{n}$を$V$の境界$S$の外向き法線ベクトルとするとき，
【証明】関連記事[B]を参照．\begin{aligned}
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot A\,\mathrm{d}V
=\int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S
\end{aligned}
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot A\,\mathrm{d}V
=\int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S
\end{aligned}
