ディアディック(ダイアド積)の計算

POINT

  • ディアディック(ダイアド積)の計算方法について解説.
  • 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる.

流体力学などのベクトル解析の計算では,「ディアディック(ダイアド積)」と呼ばれる量が現れることがあります.いきなり現れると,通常のベクトル解析の公式が使えるかどうかわからず,混乱してしまうこともあるのではないでしょうか.

ディアディック(ダイアド積)は2つのベクトルのテンソル積ですが,計算上は「行列」と思えばベクトル解析の公式に帰着させることができます.

式をきれいに書く手段だと思って割り切り,計算できるようになってしまいましょう.



「ベクトル解析の公式」でディアディック(ダイアド積)が現れないものは以下で紹介しています:

定義

ベクトルのディアディック(ダイアド積)
ベクトル$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$のディアディック(ダイアド積)を行列$\boldsymbol{a} {}^t\boldsymbol{b}$で定義する.
行列演算の定義に従って行列を計算すると
\begin{align}
\boldsymbol{a} {}^t\boldsymbol{b}
&=
\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 &\cdots & b_n
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 &\cdots &a_1 b_n \\
\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 &\cdots &a_n b_n
\end{pmatrix}
\end{align}となります.


【注意】
同じものを表す記法として$\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{a} \otimes\boldsymbol{b}$など,いくつか流儀があります(Dyadics - Wikipedia).計算する上では,ここで紹介したように「行列」として書くのがわかりやすいでしょう.

記法

記法についての注意点をまとめておきます.

ナブラについて

ディアディック(ダイアド積)の計算において,ナブラは以下のような横ベクトルとして考えます:
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align}

ベクトルや行列に作用させた場合は,「行列の積」のルールで計算します.つまり,ベクトル$\boldsymbol{a} $に作用させたときには
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{align}で,行列$A=(a_{ij})$に作用させたときには
\begin{align}
(\boldsymbol{\nabla} \cdot A)_i
&=\sum_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_j} a_{ji}
\end{align}となります.

【注意】
通常のベクトル解析では,ナブラは縦ベクトル
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial}{\partial x} \\
\dfrac{\partial}{\partial y} \\
\dfrac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\end{align}で,ベクトル$\boldsymbol{a} $に作用させたときには(行列の積ではなく)「ベクトルの内積」を用いて
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
&=
\begin{pmatrix}
\partial/\partial x \\
\partial/\partial y \\
\partial/\partial z \\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
a_x \\
a_y\\
a_z
\end{pmatrix} \\
&=\dfrac{\partial a_x}{\partial x}+\dfrac{\partial a_y}{\partial y}+\dfrac{\partial a_z}{\partial z}
\end{align}と表されます.

同じ記号でも,文脈によって意味が異なる場合があるので注意しましょう.

Einsteinの規約

以下では簡単のため,$\dfrac{\partial}{\partial x}$, $\dfrac{\partial}{\partial y}$, $\dfrac{\partial}{\partial z}$をそれぞれ$\partial_1$, $\partial_2$, $\partial_3$と表します.例えば,上の計算は
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
=\sum_{i=1}^3 \partial_i a_i
\end{align}と書くことができます.以下では,和の記号$\sum$も省略して
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{a}
= \partial_i a_i
\end{align}と書くことにします(Einsteinの規約).和を取るときは必ず同じ添字が2回出てくるので,省略してもわかるためです.

公式

ベクトル解析と類似の公式が成り立ちます.いずれも,成分に分解すればベクトル解析の公式に帰着させて証明できます.

まだ少ないですが,他にも見つけたら/思いついたら追記します.

積の微分

積の微分
$\boldsymbol{\nabla}\cdot (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{\nabla} \cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}+(\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{\nabla} )\boldsymbol{b} $
【証明】
行列の積の定義から
\begin{align}
[\boldsymbol{\nabla}\cdot (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})]_i
&=\partial_j (\boldsymbol{a}{}^t\boldsymbol{b})_{ji} \\
&=\partial_j (a_j b_i ).
\end{align}さらに,積の微分法を用いると
\begin{align}
&=(\partial_j a_j) b_i + a_j(\partial_j b_i) \\
&=[(\boldsymbol{\nabla} \cdot\boldsymbol{a}) \boldsymbol{b}+(\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{\nabla} )\boldsymbol{b}]_i
\end{align}となる.//

ガウスの発散定理

ガウスの発散定理
$A$を行列$(a_{ij})$,$\boldsymbol{n}$を$V$の境界$S$の外向き法線ベクトルとするとき,
\begin{align}
\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot A\,\mathrm{d}V
=\int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S
\end{align}
【証明】
行列$A$を$A=(\boldsymbol{a}_1\, \boldsymbol{a}_2\, \boldsymbol{a}_2 )$と表す(つまり,ベクトル$\boldsymbol{a}_i$の$j$成分が$a_{ji}$).このとき,
\begin{align}
\Bigl[ \int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot A\,\mathrm{d}V \Bigr]_i
&=\int_V [\boldsymbol{\nabla}\cdot A]_i \,\mathrm{d}V \\
&=\int_V \partial_j a_{ji} \,\mathrm{d}V \\
&=\int_V \boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{a}_i\,\mathrm{d}V
\end{align}ここで,ベクトル解析で知られる通常の「ガウスの発散定理」を適用すると
\begin{align}
&=\int_S \boldsymbol{a}_i\cdot\boldsymbol{n} \,\mathrm{d}S \\
&=\int_S a_{ji} n_j \,\mathrm{d}S \\
&=\Bigl[ \int_S {}^t\boldsymbol{n}A\,\mathrm{d}S \Bigr]_i
\end{align}となる.//

参考文献/記事