ベクトルラプラシアン

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  • ベクトルラプラシアンの計算方法と注意点.

ベクトルラプラシアンとは

ベクトルラプラシアン
$\boldsymbol{A}={}^{t}(A_x,A_y,A_z)$をベクトルとするとき,ベクトルラプラシアンをデカルト座標系で
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A}
={}^{t}(\boldsymbol{\nabla}^2 A_x,\boldsymbol{\nabla}^2 A_y,\boldsymbol{\nabla}^2 A_z)
\end{align}と定義する.但し,右辺のラプラシアンはスカラーに作用する通常のラプラシアンである.

$\mathrm{grad}$, $\mathrm{div}$, $\mathrm{rot}$や通常のラプラシアンと同じように,他の座標系では上を座標変換して得られた関係式でベクトルラプラシアンが定義されます.

ベクトルラプラシアンは,ベクトル解析の関係式
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A}
=\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}
\end{align}を利用して計算することもできます.この関係式は,次の記事で導出しています($\mathrm{rot\,}\mathrm{rot\,}\boldsymbol{A}$$=\mathrm{grad\,}\mathrm{div\,}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{\Delta\,A}$):

あるいは,この式をベクトルラプラシアンの定義とすることもできます.

一般式

以下,$-g=|\mathrm{det\,}(g_{\mu\nu})|$と表すことにする.
ベクトルラプラシアン
共変微分(参考:共変微分の計算法 - Notes_JP)を用いてベクトルラプラシアンを計算すると\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{\nabla}^\alpha \boldsymbol{A} \\
&= \Biggl[ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} \partial_{\beta} A^\mu) \\
&\qquad + \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta} A^{\lambda}) \\
&\qquad +g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha}(\partial_\beta A^{\nu} + \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda} )
\Biggr] \boldsymbol{e}_\mu \\
&=\Biggl[\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} A^{\mu}_{\: ;\beta}) \\
&\qquad +\Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} g^{\alpha \beta} A^{\nu}_{\: ;\beta}
\Biggr]\boldsymbol{e}_\mu
\end{align}となる.

【証明】
共変微分の計算法 - Notes_JPで計算したように,
\begin{align}
& \boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{\nabla}_\beta \boldsymbol{A}
= A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} (\boldsymbol{e}_\mu \otimes \boldsymbol{f}^\alpha \otimes \boldsymbol{f}^\beta)\\
&A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} \\
&=\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu}
+ ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} + \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} )A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda}) \\
&\quad \color{red}{ - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} (\partial_\nu A^\mu + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\nu} A^\lambda) } \\
&=(\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu} \color{red}{- \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \partial_\nu A^\mu} ) \\
&\quad + ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta}
\color{red}{ - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\nu} }
+ \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta}
) A^{\lambda} \\
&\quad + (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda})
\end{align}が成り立つ.ここで,今求めたいものは
\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}_\alpha \boldsymbol{\nabla}^\alpha \boldsymbol{A}
&= g^{\alpha \beta} A^{\mu}_{\:\: ;\beta\,;\alpha} \boldsymbol{e}_\mu
\end{align}である.各項にわけて計算する.

【第1項】
関係式
\begin{align}
g^{\alpha \beta} \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha}
&=-\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\alpha} (\sqrt{-g} g^{\nu\alpha})
\end{align}(例えば場の古典論$\S 86$)を用いれば,
\begin{align}
&g^{\alpha \beta} (\partial_\alpha \partial_\beta A^{\mu} - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \partial_\nu A^\mu ) \\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} \partial^{\alpha} A^\mu)
\end{align}となる.これは,$A^\mu$にラプラシアンを作用させた形になっている.

【第2項】
第1項と同様にして
\begin{align}
& g^{\alpha \beta} ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\nu} ) \\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta})
\end{align}だから,
\begin{align}
& g^{\alpha \beta} ( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} - \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\nu} )A^{\lambda} \\
&=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta} A^{\lambda})
- g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta} \partial_\alpha A^{\lambda}
\end{align}となる.よって,
\begin{align}
& g^{\alpha \beta}
( \partial_\alpha\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta}
- \Gamma^{\nu}_{\:\beta\alpha} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\nu}
+ \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta}
) A^{\lambda} \\
&= \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\alpha (\sqrt{-g} g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta} A^{\lambda})
- g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda\beta} \partial_\alpha A^{\lambda} \\
&\qquad +g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\nu\alpha} \Gamma^{\nu}_{\:\lambda \beta} A^{\lambda}
\end{align}

【第3項】
\begin{align}
&g^{\alpha \beta} (\Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda} + \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \alpha} \partial_\beta A^{\lambda}) \\
&=2g^{\alpha \beta} \Gamma^{\mu}_{\:\lambda \beta} \partial_\alpha A^{\lambda}
\end{align}となる.

以上で示された.//

円筒座標

\begin{align}
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_r
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_r
-\frac{1}{r^2}A_r
-\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \\
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_\theta
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_\theta
-\frac{1}{r^2}A_\theta
+\frac{2}{r^2}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \\
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_z
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_z
\end{align}

【証明】
円筒座標系のクリストッフェル記号でゼロでないものは
\begin{align}
\Gamma^{\theta}_{\:\theta r} = \Gamma^{\theta}_{\:r \theta} =\frac{1}{r},\quad \Gamma^{r}_{\:\theta\theta} =-r
\end{align}だけである.(参考:クリストッフェル記号 - Notes_JP).

【$r$成分】

【$\theta$成分】

【$z$成分】

以上で,導出が完了した.//

極座標

\begin{align}
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_r
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_r
-\frac{2}{r^2}A_r
- \frac{2}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_\theta \sin\theta)
- \frac{2}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \\
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_\theta
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_\theta
-\frac{1}{r^2 \sin^2\theta} A_\theta
+\frac{2}{r^2} \frac{\partial A_r}{\partial\theta}
-\frac{2\cos\theta}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} \\
(\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A})_\varphi
&=\boldsymbol{\nabla}^2 A_\varphi
-\frac{1}{r^2 \sin^2\theta} A_\varphi
+\frac{2}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}
+\frac{2\cos\theta}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}
\end{align}

【証明】
//

参考文献/記事