POINT 優収束定理（limと積分の順序交換）と応用例の解説． 優収束定理とその適用例を紹介します．微分・積分の順序交換については，以下の記事を参照して下さい： 【Lebesgue積分】微積分の順序交換 - Notes_JP 優収束定理 例 参考文献 優収束定理優収束定…

POINT 正項級数の収束を判定する方法と例の紹介． 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません．しかし，\begin{aligned} \biggl| \sum_n a_n \biggr| \leq \sum_{n} |a_{n}| \end{aligned}から （正項級数）$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Righta…

POINT 中心極限定理（Central limit theorem, CLT）の解説． 応用例として測定やコイン投げを紹介． 世の中に正規分布があふれる背景の一つに，中心極限定理の存在が挙げられます． 中心極限定理 【例】測定値と標準誤差 真値$\mu$の推定量について，中心極…

POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい：…

POINT 「Riemann可積分であり，Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介． 関数$\dfrac{\sin x}{x}$は，広義Riemann積分可能でも，Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています．じゃあ，「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか…

POINT チェビシェフの不等式（Chebyshev’s inequality）の導出と応用例の紹介． チェビシェフの不等式から，標準偏差がバラツキの尺度となることがわかる． チェビシェフの不等式から，「標準偏差がバラツキの尺度として用いられる」理由がわかります． 【覚…

POINT ベクトル解析の公式と，その導出方法の一覧． 行列計算も統一的に理解できる． ベクトル解析の公式と，その導出方法を一覧にまとめました．力学・電磁気学・流体力学などを学ぶ上で，これらの計算はとても重要です．計算練習をして，すぐに公式を導出…

完全反対称テンソルの縮約POINT 「完全反対称テンソル（レビ・チビタ記号，エディントンのイプシロン）の縮約公式」を簡単に導出する方法． この公式は，ベクトル解析の計算で欠かすことができない． ベクトル解析の重要な公式に，『完全反対称テンソル（レ…

POINT 積分公式の一覧（途中計算あり）． 対象：三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数． 基本的な不定積分公式を導出します．以下では$a>0$とし，積分定数は省略します． 他の積分公式はこちら： ガウス積分と派生公式 - Notes_JP 指数関数 三角関数 双…

POINT 対角化の操作は，基底の変換（座標変換）に相当する． 行列の対角化の公式を「行列表示」の考え方で簡単に導く． 対角行列 定義 性質 対角化 対角化とは？ なぜ必要？ $P^{-1}AP$の意味は？ 行列表示によるアプローチ 対角行列であるための条件 対角行…

POINT 行列表示とは，ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと． 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる． 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います．この記事…