POINT 東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録． 各章が短くて進めやすい（第9週は2ページ！） 【関連】読書メモ - Notes_JP．東大教養学部のゼミ「群論と微分方程式」の講義録だそうです．出席した学生の中から，数学者になった方もいるそうです．…

POINT 点と直線の距離，点と平面の距離を導く． イメージ重視の説明にしています． 簡単に覚えて，いつでも思い出せる手法です． 法線ベクトル 点と曲面の距離 点と直線の距離 点と平面の距離 法線ベクトル法線ベクトル曲面$f (\boldsymbol{x}) = 0$を考える…

POINT 上極限集合，下極限集合を使うための練習． 面倒臭がらずに定義に戻って考えればわかります．証明できるようになると同時に，直感的な意味も把握しておくと性質を思い出しやすいです． 【関連記事】 [A] 「数列」の上極限・下極限・極限 - Notes_JP：…

POINT 条件付き期待値を使った計算例． 2017年に賭ケグルイ双（スリーヒットダイス）を読んで書こうと思い，そのまま放置していたネタを引っ張り出してきました． 【関連記事】 [A]事象が起こるまでの試行回数 - Notes_JP 条件付き期待値を使う理由 条件付き…

POINT 確率$0 確率$p$の$n$種類の当たりくじを全て当てるまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$． 様々な計算方法があります．中でも，条件付き期待値による方法は，直感を利用して計算を省略できるメリットがあり…

POINT 床関数・天井関数の定義 競技プログラミングでよく使われる関係式の導出 分数のところの関係式が競技プログラミング（AtCoder，蟻本など）のコードでよく使われています．検索しても欲しい記事が出てこないので，自分で考えました． 床関数 天井関数 …

POINT 離散フーリエ変換（DFT）に関するまとめ． 計算機では有限子の離散データしか扱えない．そこで，有限子の離散データを周期的に拡張して扱う． 非周期的なデータは扱えず，周期的なデータとなる． フーリエ変換は離散フーリエ変換（DFT）として扱い，高…

POINT 射影の基本的性質． ベクトルのとても基本的，かつ便利な考え方です．この記事で紹介するのは，慣れればどれも当たり前に感じられる性質です． この考え方は，フーリエ級数などでも役に立ちます． 射影 基底による展開 直交成分 グラム・シュミットの…

POINT 座標軸を回転させるとき，「基底は同じ方向に回転」し，「ベクトルは逆方向に回転」する． 基底の変換則，ベクトルの変換則を導く． 結果をまとめておきます（$R(\theta)$は回転行列）． 変換則(ベクトル表記) 変換則(成分表記) 基底 $\boldsymbol{e}_…

POINT 鞍点法（鞍部点法，最急降下（線）法）の計算について． 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数（正則関数）$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す（$f=u+iv$）ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…

以下の書籍のメモです．目的は， 見通しが良い形で書き換えたい：かなり丁寧に解説してくれている分，後から見返したときに見通しが悪い部分があるため． 省略されている計算・ロジックのフォロー． です．1, 2章は必要になったときに参照し，3章から読むと…

【関連記事】 三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます：三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと，次の派生公式を導くことができます．\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\…

POINT 二項定理のポイントは「場合の数」． 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要． 多項定理も全く同じように理解できる． 【関連記事】 二項定理 多項定理 二項定理二項…

POINT ベルヌーイ分布を一般化し，多項分布を得る． 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です．ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として，2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布：コイン（2面サイコロ）を1回投げる． …

POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法． 【関連記事】 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{…

POINT 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける． 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます．単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう． 【関連記事】 平方完成とは 手順 …

POINT 複数の三角関数の和を計算する． 物理的には，単振動を複数合成することを意味する． オイラーの公式を用いて導出することもできる． 【関連記事】 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは，$\sin$と$\c…

POINT フーリエ変換の関係式とその導出． 【関連記事】 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数倍 参考文献 定義関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F…

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…

POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…

POINT 最小二乗法の計算を解説． 最小二乗法の計算について紹介します．微分法による極値問題の一例としても良い題材です．この記事では細かい部分を詰めることはせず，ざっくりとした計算の流れを整理することを目的とします．【関連記事】 線形回帰 - Note…

ユークリッドの互除法POINT 絵を使えば「ユークリッドの互除法」が簡単にわかる． 絵を書くことで，最大公約数の求め方（ユークリッドの互除法）を簡単に理解できます．【メモ】 あと何箇所か絵を入れたい． 不定方程式も図解したい． 絵で見る最大公約数 絵…

POINT 整数の最大公約数の求め方． 繰り返し2数の割り算を計算することで，最大公約数がわかる． 整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法に「ユークリッドの互除法」と呼ばれる方法があります．名前は難しそうですが，やっていることはとても簡単です．実際，…

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出する． 計算フォーム・Excelにコピペして使えるフォーマットもあります． 単純な「連立方程式」の問題ですが，一般解は少し複雑な形になります． 計算フォーム Excel用フォーマット 導出 円…

POINT テンソルは「ベクトル（と転置ベクトル）」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる． 例：行列$M$はテンソルである．なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値：${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

POINT 三角関数の公式のほとんどは，単位円やグラフを描けば導ける． 例外的に「加法定理（3つ）」だけは暗記が必要．他の公式は加法定理から簡単に計算できる． 三角関数はあらゆる分野で現れます．ベクトルなどと同様に，ツールとしての役割が大きいです．…

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説． 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介． 公式として覚えているものも，同じプロセスで導かれることを見てみましょう．いつでも導出できるようになると便利です．とりあえずは球を中心に作成しました．他の例も，こ…

POINT 統計的仮説検定についての最低限の知識をまとめました． 具体例として，「コイントス」，「母平均についての$Z$検定」を考えます． 統計的仮説検定の考え方は，ポイントさえ抑えてしまえば難しくありません．確率分布の図を描けば，簡単に理解できます…

POINT ベン図を使えば，条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる． ベイズの定理の応用例を紹介． 結論：下図より，$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$となることがわかる！ ベイズの定…

POINT ざっくり言えば，「テンソルの成分」と呼ばれる量を「行列の形」に並べると（表記や計算で）便利なことがある，というのが一つの答え．背景には，もう少し深い性質がある． 主な混乱の原因は，「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソ…