以下の書籍のメモです．目的は， 見通しが良い形で書き換えたい：かなり丁寧に解説してくれている分，後から見返したときに見通しが悪い部分があるため． 省略されている計算・ロジックのフォロー． です．1, 2章は必要になったときに参照し，3章から読むと…

三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます：三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと，次の派生公式を導くことができます．\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\vec{x} + \vec…

POINT 二項定理のポイントは「場合の数」． 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要． 多項定理も全く同じように理解できる． 二項定理 多項定理 二項定理二項定理\begin{ali…

POINT ベルヌーイ分布を一般化し，多項分布を得る． 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です．ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として，2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布：コイン（2面サイコロ）を1回投げる． …

POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法． 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{\rm{AB}} \\ &…

POINT 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける． 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます．単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう． 平方完成とは 手順 2次方程式の解…

POINT 複数の三角関数の和を計算する． 物理的には，単振動を複数合成することを意味する． オイラーの公式を用いて導出することもできる． 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは，$\sin$と$\cos$の合成公式…

POINT フーリエ変換の関係式とその導出． 【関連記事】 畳み込み - Notes_JP 離散フーリエ変換（DFT） - Notes_JP 実関数のフーリエ変換 - Notes_JP デルタ関数と公式 - Notes_JP ガウス積分と派生公式 - Notes_JP 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・…

POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…

POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…

POINT 最小二乗法の計算を解説． 最小二乗法の計算について紹介します．微分法による極値問題の一例としても良い題材です．この記事では細かい部分を詰めることはせず，ざっくりとした計算の流れを整理することを目的とします．【関連記事】 線形回帰 - Note…

ユークリッドの互除法POINT 絵を使えば「ユークリッドの互除法」が簡単にわかる． 絵を書くことで，最大公約数の求め方（ユークリッドの互除法）を簡単に理解できます．【メモ】 あと何箇所か絵を入れたい． 不定方程式も図解したい． 絵で見る最大公約数 絵…

POINT 整数の最大公約数の求め方． 繰り返し2数の割り算を計算することで，最大公約数がわかる． 整数$a$と$b$の最大公約数を求める方法に「ユークリッドの互除法」と呼ばれる方法があります．名前は難しそうですが，やっていることはとても簡単です．実際，…

3点を通る円POINT 円の通る3点から中心・半径を求める一般式を導出する． 計算フォーム・Excelにコピペして使えるフォーマットもあります． 単純な「連立方程式」の問題ですが，一般解は少し複雑な形になります． 計算フォーム Excel用フォーマット 導出 円…

POINT テンソルは「ベクトル（と転置ベクトル）」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる． 例：行列$M$はテンソルである．なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値：${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…

POINT 三角関数の公式のほとんどは，単位円やグラフを描けば導ける． 例外的に「加法定理（3つ）」だけは暗記が必要．他の公式は加法定理から簡単に計算できる． 三角関数はあらゆる分野で現れます．ベクトルなどと同様に，ツールとしての役割が大きいです．…

POINT 面積・体積の計算を丁寧に解説． 同じ例を複数の方法で計算する方法を紹介． 公式として覚えているものも，同じプロセスで導かれることを見てみましょう．いつでも導出できるようになると便利です．とりあえずは球を中心に作成しました．他の例も，こ…

POINT 統計的仮説検定についての最低限の知識をまとめました． 具体例として，「コイントス」，「母平均についての$Z$検定」を考えます． 統計的仮説検定の考え方は，ポイントさえ抑えてしまえば難しくありません．確率分布の図を描けば，簡単に理解できます…

POINT ベン図を使えば，条件付き確率・ベイズの定理が簡単に理解できる． ベイズの定理の応用例を紹介． 結論：下図より，$A$が起こったときに$B$が起こる確率は$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$となることがわかる！ ベイズの定…

POINT ざっくり言えば，「テンソルの成分」と呼ばれる量を「行列の形」に並べると（表記や計算で）便利なことがある，というのが一つの答え．背景には，もう少し深い性質がある． 主な混乱の原因は，「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソ…

POINT 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる． 導出した変換則を一覧として整理した． 以前の記事で， 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました．この議論を一般化す…

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で …

POINT 標準偏差の役立つ実用例を紹介． 偏差値・ボリンジャーバンド・測定 Excelによるボリンジャーバンドの描画法． 確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います．また，「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られ…

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される． ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる． 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です…

POINT 極限操作（lim,微分,積分）を入れ替えられない例の紹介． 一様収束や微分，積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる． 絵（グラフ）で考えるとわかりやすいです．次のポイントさえ掴んでいれば，反例を考えることは簡単です： 微…

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介． 物理においては，実験との比較によって正当化される． 物理では，広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし，最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります．この操作が正当化されるの…

POINT 選出公理（選択公理，Axiom of choice）の主張と例を紹介． どこで使われているのかわかりにくい，選出公理．その適用例を紹介します． 選出公理 選出公理の適用例 例１：任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む． 参考文献 選出公理まず…

POINT 有限個のサンプルから，分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法． 測定への応用を紹介． ある分布から，有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します．これは，何かの「測定」を行う際には避けられない話題で…

POINT 定義さえ理解しておけば，（派生）公式を覚えなくても計算できる． 具体例として，回転体の表面積の派生公式などを導く． 曲面積の定義 派生公式 球の表面積 グラフの曲面積（$X=x$, $Y=y$, $Z=f(x,y)$） $y=f(x)$の回転体（$X=x$, $Y=f(x)\cos\theta$…

POINT 0.999・・・=1という式の意味について解説する． 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる． 2進数を始め，N進数でも同じことが起こる． 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが，納得できている人は多くないのではない…