POINT 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる． 導出した変換則を一覧として整理した． 以前の記事で， 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました．この議論を一般化す…

POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で …

POINT 標準偏差の役立つ実用例を紹介． 偏差値・ボリンジャーバンド・測定 Excelによるボリンジャーバンドの描画法． 確率・統計で学ぶ「標準偏差」の定義を知っている人は多いと思います．また，「標準偏差」が分布のバラツキを表していることも良く知られ…

POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される． ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる． 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です…

POINT 極限操作（lim,微分,積分）を入れ替えられない例の紹介． 一様収束や微分，積分をグラフで理解しておけば簡単に反例をつくることができる． 絵（グラフ）で考えるとわかりやすいです．次のポイントさえ掴んでいれば，反例を考えることは簡単です： 微…

POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介． 物理においては，実験との比較によって正当化される． 物理では，広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし，最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります．この操作が正当化されるの…

POINT 選出公理（選択公理，Axiom of choice）の主張と例を紹介． どこで使われているのかわかりにくい，選出公理．その適用例を紹介します． 選出公理 選出公理の適用例 例１：任意の無限集合は, 可算無限集合を部分集合として含む． 参考文献 選出公理まず…

POINT 有限個のサンプルから，分布の平均・分散・標準偏差を推定する方法． 測定への応用を紹介． ある分布から，有限個のサンプルを取り出して「元の分布」の情報を推定する方法について解説します．これは，何かの「測定」を行う際には避けられない話題で…

POINT 定義さえ理解しておけば，（派生）公式を覚えなくても計算できる． 具体例として，回転体の表面積の派生公式などを導く． 曲面積の定義 派生公式 球の表面積 グラフの曲面積（$X=x$, $Y=y$, $Z=f(x,y)$） $y=f(x)$の回転体（$X=x$, $Y=f(x)\cos\theta$…

POINT 0.999・・・=1という式の意味について解説する． 10進法では同じ数が2通りの方法で表せることがわかる． 2進数を始め，N進数でも同じことが起こる． 0.999・・・=1という式は「正しい式」として教えられますが，納得できている人は多くないのではない…

POINT 因数分解の手順を紹介． 方法さえ理解できれば，公式を覚えずに済む． 高校に入ってすぐに因数分解の公式に苦しんだ人，結構いるんじゃないでしょうか？ この記事では，因数分解のコツを紹介します．マスターできれば，複雑な公式を覚えずに済ますこと…

POINT 複素数の平方根で有名な1＝−1となるパラドックスを紹介． 実数の平方根と異なり，符号を一意に決められないことが原因． 高校生や大学の複素解析を学んだとき，「平方根」で混乱したことはないでしょうか？一見正しそうな計算により，1＝−1 が導かれる…

回転行列をベクトルに作用させると，原点中心に回転したベクトルが得られる．POINT 回転行列は，ベクトルを原点周りに回転したベクトルに写す． 回転行列（2次元・3次元）は図をかくと簡単に導出できる． 回転行列を簡単に導出する方法を紹介します． 【関連…

POINT 10進数から2進数へ変換する方法を解説する． 10進数の各桁を求めるのと同じことをしているのがわかる． 「2進数の各桁を求めること」は，「10進数の各桁を求めるのと同じ操作」に過ぎないのです． 難しいことは何もありません．10進数の各桁をどうやっ…

POINT ランダウの記号は，無限小や無限大を議論する際に現れる． 微小量の高次項を表す際，$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号が現れます（カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります）．例えば，微積分学の教科書の中には，証明の中でこの記号…

POINT 優収束定理（limと積分の順序交換）と応用例の解説． 優収束定理とその適用例を紹介します．微分・積分の順序交換については，以下の記事を参照して下さい： 【Lebesgue積分】微積分の順序交換 - Notes_JP 優収束定理 例 参考文献 優収束定理優収束定…

POINT 正項級数の収束を判定する方法と例の紹介． 正項級数というと特殊な感じがするかもしれません．しかし，\begin{aligned} \biggl| \sum_n a_n \biggr| \leq \sum_{n} |a_{n}| \end{aligned}から （正項級数）$\displaystyle\sum_n |a_n|$が収束$\Righta…

POINT 中心極限定理（Central limit theorem, CLT）の解説． 応用例として測定やコイン投げを紹介． 世の中に正規分布があふれる背景の一つに，中心極限定理の存在が挙げられます． 中心極限定理 【例】測定値と標準誤差 真値$\mu$の推定量について，中心極…

POINT 微積分の順序交換に関する定理の紹介． 応用例としてGauss積分について解説する． 微積分の順序交換に関する定理と，応用例を紹介します． 極限記号$\lim$と，積分$\displaystyle\int$の順序交換（優収束定理）については，次の記事を参照して下さい：…

POINT 「Riemann可積分であり，Lebesgue可積分でない」有名な例の紹介． 関数$\dfrac{\sin x}{x}$は，広義Riemann積分可能でも，Lebesgue積分は不可能な有名な例として知られています．じゃあ，「Lebesgue積分はRiemann積分よりも計算できる関数が少ないのか…

POINT チェビシェフの不等式（Chebyshev’s inequality）の導出と応用例の紹介． チェビシェフの不等式から，標準偏差がバラツキの尺度となることがわかる． チェビシェフの不等式から，「標準偏差がバラツキの尺度として用いられる」理由がわかります． 【覚…

POINT 積分公式の一覧（途中計算あり）． 対象：三角関数・双曲線関数・指数関数・対数関数． 基本的な不定積分公式を導出します．以下では$a>0$とし，積分定数は省略します． 他の積分公式はこちら： ガウス積分と派生公式 - Notes_JP 指数関数 三角関数 双…

POINT 対角化の操作は，基底の変換（座標変換）に相当する． 行列の対角化の公式を「行列表示」の考え方で簡単に導く． 対角行列 定義 性質 対角化 対角化とは？ なぜ必要？ $P^{-1}AP$の意味は？ 行列表示によるアプローチ 対角行列であるための条件 対角行…

POINT 行列表示とは，ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと． 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる． 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います．この記事…

POINT サイコロ1個の超極端な例で，条件付き確率の理解を深めましょう． ベン図を使って図解します． 何事も，理解のコツは「極端な例」を考えることです．例えば， 数学なら，すごく数が小さい場合/大きい場合を考える． 物理なら，物理量が$0$あるいは$\in…

POINT モンティ・ホール問題は，誤答しやすいことで知られる確率問題． モンティ・ホール問題を簡単に解く方法を紹介する． 条件付き確率なしでモンティ・ホール問題を理解する方法を紹介します．問題を知っている人向けに結論から．次の考察だけで済みます…

昔読んだときのノートが出てきたので，読み直してみようかな，という試み（をするかもしれないので，ページだけを用意）． 他のルベーグ積分の教科書に比べて，道筋が明快で読みやすかった記憶があります．Real and Complex Analysis（表紙は赤と緑２種類が…

POINT ベッセル関数の関係式． 積分表示 平面波 参考文献 積分表示積分表示 Besselの積分表示： $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta$ Hansenの積分表示： $J_n(x)$$\displaystyl…

不偏推定量 平均値 分散 補足 参考文献 不偏推定量『推定量の分布の期待値』が『推定したい値の真値』と一致することは，「性質が良い」推定量の条件と言えるでしょう．この性質を持つ推定量を，不偏推定量 (Unbiased estimator) と呼びます．無作為標本$\{X…

POINT 関数$y=f(x)$の$x$軸，$y$軸方向の平行移動を表す方法． 波動現象（例えば，音や光）を扱う際，「速度$V$で進む波」を関数で表す必要があります．これは，「関数の平行移動」を用いて表現することができます． 【関連記事】 関数の平行移動 x方向 y方…