POINT 曲線座標系におけるデルタ関数の表式． 【関連記事】 デルタ関数と公式 - Notes_JP デルタ関数の座標変換 デカルト座標系 円筒座標系 極座標系 参考文献 デルタ関数の座標変換デルタ関数の座標変換 $\boldsymbol{\xi}=f(\boldsymbol{x})$（注：$f^{-1}…
POINT 鞍点法（鞍部点法，最急降下（線）法）の計算について． 解析関数と鞍点 鞍点法 例 参考記事/文献 解析関数と鞍点解析関数（正則関数）$f$の実部と虚部をそれぞれ$u$, $v$と表す（$f=u+iv$）ときCauchy-Riemannの方程式\begin{aligned} \frac{\partial…
自分が理解しやすいように言い換えたり，解釈を加えたりしたメモです（重要事実の列挙，ロジックの補完，気になった計算など）．【関連記事】 示量性と示強性（熱力学） - Notes_JP 熱力学―現代的な視点から (新物理学シリーズ)作者:田崎 晴明培風館Amazon 1…
以下の書籍のメモです．目的は， 見通しが良い形で書き換えたい：かなり丁寧に解説してくれている分，後から見返したときに見通しが悪い部分があるため． 省略されている計算・ロジックのフォロー． です．1, 2章は必要になったときに参照し，3章から読むと…
【関連記事】 三角不等式以下の関係式を「三角不等式」と呼びます：三角不等式\begin{aligned} |\vec{x}+\vec{y}| \leq |\vec{x}| + |\vec{y}| \end{aligned} 三角不等式を使うと，次の派生公式を導くことができます．\begin{aligned} |\vec{x}| &= \bigl|(\…
POINT 二項定理のポイントは「場合の数」． 式の展開に「組み合わせ」を表す$\displaystyle {}_n\mathrm{C}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$が現れる理由を理解することが重要． 多項定理も全く同じように理解できる． 【関連記事】 二項定理 多項定理 二項定理二項…
POINT 合成関数を簡略化して書くと，計算で混乱を生じ得る． 混乱した場合は「簡略化の記法をやめて，定義に戻って考える」と良い． 以前から，これ混乱しない？と思っていたので記事にしました．そもそも「簡略化した記法」を使うことが多すぎて，「簡略化…
POINT ベルヌーイ分布を一般化し，多項分布を得る． 末尾の参考文献[1]の行間を埋めた記事です．ベルヌーイ分布を一般化して多項分布へ至る方法として，2通りの方法 ベルヌーイ分布→二項分布→多項分布 ベルヌーイ分布：コイン（2面サイコロ）を1回投げる． …
POINT ドップラー効果の問題を統一的に考える方法． 「振動数」＝「単位時間あたりの波の数」がポイント． 観測者が単位時間に観測する「波の数」を調べれば良い． 高校物理の内容です．ドップラー効果が，全て同じ方法（単位時間に観測する「波の数」を数え…
POINT 波動現象の波長・速度・振動数の関係を整理します． 「振動数＝単位時間にだす波の個数」，「速度＝1単位時間に発せられた波が占める領域の長さ」． この記事では，「波の進む速さ」を$V$で表します．注（わかる人向け）： 文字に単位をつける記法（「…
POINT CAPMの計算． 「参考文献」の書籍に関するメモです．記法や用語は，後半にまとめています． 用語は後で都合が良いように定義しました．一般的な定義の仕方がわかれば修正します． CAPM 記法と注意 分散共分散行列 ポートフォリオ 市場ポートフォリオ …
POINT Schrödinger方程式． 井戸の幅が時間変化する問題． 昔やった計算のメモ．まだ途中．．．． 問題設定 無次元化 変数分離 固有エネルギーと固有関数 時間発展 位置の期待値 問題設定問題質量$m$の粒子が \begin{align} V(x) &= \begin{cases} \,0 & (0\…
POINT 球が積分領域など，何らかの形で関わる積分計算のメモ． 分類の仕方は暫定です．増えてきたらまた考えます． 【関連記事】 曲面積の求め方 - Notes_JP：球の表面積 Helmholtz方程式関連 Helmholtz方程式関連LAMB, HYDRODYNAMICS, SIXTH EDITION, DOVER…
POINT 定常波・定在波の性質について考察する． 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴． 意外とちゃんと考えたことがなかったので，丁寧に考察してみました．【関連記事】 [A]定常波・定在波の性質 - Notes_JP：この記事を複素表記$Ae^{i(\omega t - kx…
POINT 三角形の重心をベクトルで表す方法． 【関連記事】 内分点と外分点 重心 内分点と外分点2点$\rm{A}$, $\rm{B}$を結ぶ直線上の点を$\rm{P}$とするとき，\begin{aligned} \overrightarrow{\rm{OP}} &=\overrightarrow{\rm{OA}} + t\cdot\overrightarrow{…
POINT 平方完成を使うことで，2次方程式の解の公式が導ける． 「平方完成」は2次方程式を解くときだけでなく，数式を扱う際には（大学でも）よく現れます．単なる計算テクニックなので，何度かやって慣れてしまいましょう． 【関連記事】 平方完成とは 手順 …
POINT 複数の三角関数の和を計算する． 物理的には，単振動を複数合成することを意味する． オイラーの公式を用いて導出することもできる． 【関連記事】 三角関数の合成 複数の三角関数 複素指数関数を使う方法 参考文献 三角関数の合成まずは，$\sin$と$\c…
POINT 流体力学で現れる物質微分（ラグランジュ微分）の意味について． 物質微分は，流体の流れと一緒に移動する「流体粒子」からみた微分とみなせる． 物質微分の関係式を考察する． 「物質微分」は流体力学で基礎的かつ重要な概念です．最初はとっつきにく…
POINT クリストッフェル記号の定義と性質について． 円筒座標系，極座標系の具体計算を行う． 定義 性質 円筒座標 極座標 参考文献/記事 定義\begin{aligned} \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma} &=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\ \Gamma_{\alpha\b…
POINT 流体力学において流れを決定する方程式を整理する． 運動方程式(1)は任意の連続物体（流体，弾性体，塑性体）について成り立つ 連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は，それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します．流体力学で…
POINT 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します． ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので，波動現象（電磁波，音波など）の理解にも役立ちます． Schrödinger方程式 解法（変数分離） 変数分離 角度変数 動径関数 参考文献 【…
POINT フーリエ変換の関係式とその導出． 【関連記事】 定義 逆変換 性質 よく使う関係式 偶関数・奇関数の場合 計算例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 2πの付け方の違い 全体の定数倍 係数の定数倍 参考文献 定義関数$f$のフーリエ変換$\hat{f}=\mathcal{F…
POINT Pythonでアニメーションを作成する方法． 数値計算の結果の描画などに利用できる． 公開されているサンプルコードを少しいじって，挙動を確認した． Pythonでアニメーションを作成できることを知りました．二重振り子の微分方程式を解き，その運動をア…
POINT 単振り子の厳密解とPython(SciPy)の計算結果を比較する． 厳密解の導出を解説する． 数値計算の妥当性を確認するために，2通りの方法 常微分方程式をSciPy(odeint, ode, solve_ivp)を用いて解いたものをプロットする方法 厳密解を楕円積分・楕円関数を…
POINT 回転体の体積を計算する「バームクーヘン積分」を解説． 回転体の体積をバームクーヘンのような薄皮に分割して足し上げることで計算する方法は「バームクーヘン積分」と呼ばれます．英語だとShell integrationと呼ばれているようです．立体をShell（殻…
POINT フックの法則（ひずみテンソル）の座標変換の計算方法． テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後，極座標・円筒座標の具体式を計算する． 以下で与えられる，座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です． 歪テンソル（極座標） 歪テンソル（…
POINT ディアディック（ダイアド積）の計算方法について解説． 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる． 流体力学や電磁気学におけるベクトル解析の計算で，「ディアディック（ダイアド積）」と呼ばれる量が現れます．いきな…
POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…
TikZで作った図（2D）POINT TikZで作成した図（2D）のソースコードを紹介！ 3次元編はこちら ブログ記事のためにTikZで作成した図のTeXコードを，備忘録として残しておきます． ベクトルの回転（2次元） 二項分布 棄却域（統計的仮説検定） ベン図 ポートフ…
POINT 最小二乗法の計算を解説． 最小二乗法の計算について紹介します．微分法による極値問題の一例としても良い題材です．この記事では細かい部分を詰めることはせず，ざっくりとした計算の流れを整理することを目的とします．【関連記事】 線形回帰 - Note…
