物理学
POINT 定常波・定在波の性質について考察する． 自由端反射と固定端反射による定常波の特徴． 意外とちゃんと考えたことがなかったので，丁寧に考察してみました．【関連記事】 [A]定常波・定在波の性質 - Notes_JP：この記事を複素表記$Ae^{i(\omega t - kx…
POINT 流体力学で現れる物質微分（ラグランジュ微分）の意味について． 物質微分は，流体の流れと一緒に移動する「流体粒子」からみた微分とみなせる． 物質微分の関係式を考察する． 「物質微分」は流体力学で基礎的かつ重要な概念です．最初はとっつきにく…
POINT クリストッフェル記号の定義と性質について． 円筒座標系，極座標系の具体計算を行う． 定義 性質 円筒座標 極座標 参考文献/記事 定義\begin{aligned} \Gamma^{\alpha}_{\:\beta\gamma} &=g^{\alpha\mu} \Gamma_{\mu\beta\gamma} \\ \Gamma_{\alpha\b…
POINT 流体力学において流れを決定する方程式を整理する． 運動方程式(1)は任意の連続物体（流体，弾性体，塑性体）について成り立つ 連続物体の運動量・質量・エネルギーの保存則は，それぞれ運動方程式・連続の方程式・状態方程式に対応します．流体力学で…
POINT 中心力場のシュレーディンガー方程式を解く流れを解説します． ヘルムホルツ方程式も特殊な場合として含まれるので，波動現象（電磁波，音波など）の理解にも役立ちます． Schrödinger方程式 解法（変数分離） 変数分離 角度変数 動径関数 参考文献 【…
POINT フーリエ変換の関係式とその導出を一覧にしました． 定義 逆変換 性質 $f(x+a)$ $e^{iax}f(x)$ $f(ax)$ $\bar{f}(x)$ フーリエ逆変換 偶関数 奇関数 実関数 相関関数・畳み込み フーリエ変換の具体例 指数関数 ガウス関数 デルタ関数 くし型関数 周期…
POINT 単振り子の厳密解とPython(SciPy)の計算結果を比較する． 厳密解の導出を解説する． 数値計算の妥当性を確認するために，2通りの方法 常微分方程式をSciPy(odeint, ode, solve_ivp)を用いて解いたものをプロットする方法 厳密解を楕円積分・楕円関数を…
POINT フックの法則（ひずみテンソル）の座標変換の計算方法． テンソル演算により座標変換の一般式を求めた後，極座標・円筒座標の具体式を計算する． 以下で与えられる，座標変換後の歪テンソルの表式の導出方法です． 歪テンソル（極座標）（wikipedia） …
POINT ディアディック（ダイアド積）の計算方法について解説． 「行列」として計算すればベクトル解析の計算に帰着させることができる． 流体力学や電磁気学におけるベクトル解析の計算で，「ディアディック（ダイアド積）」と呼ばれる量が現れます．いきな…
POINT ガウス積分の計算をまとめました． ガウス積分とは，ガウス関数$e^{-x^2}$の積分のことです．ガウス関数は正規分布を始めとして様々な場面で現れることから，ガウス積分の計算に出くわす機会は頻繁にあります．派生する公式が多いことも特徴の一つです…
POINT テンソルは「ベクトル（と転置ベクトル）」をいくつか与えると「値」を返す関数として理解できる． 例：行列$M$はテンソルである．なぜなら「ベクトル$\boldsymbol{v}$,$^{t}\boldsymbol{w}$」を与えると「値：${}^t\boldsymbol{w}M\boldsymbol{v}$」…
極座標のラプラシアンPOINT 数行でラプラシアン，divを計算する方法（極座標・円筒座標）． 面倒な偏微分の計算（連鎖率・チェーンルール・合成関数の微分）は不要． 【前提知識】 極座標・円筒座標のナブラ(grad)の表式． 積分の変数変換の方法（ヤコビアン…
POINT テンソル演算で得られた結果を，ベクトル解析の記法に書き換える方法． テンソル解析ではベクトルの変換則を$\displaystyle A^{\prime\mu}=\frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\nu}A^\nu$で定めるが，この計算で得られる成分はベクトル解析で扱…
最終更新日：2025年4月1日この記事では，積分を使った面積や体積の求め方を，具体的な計算例（円の面積・球の体積・回転体の体積など）を通じて丁寧に解説します．高校数学や大学受験で頻出の内容を取り扱い，公式の丸暗記ではなく積分の本質的な理解を目指…
高校物理（力学）を微積分でスッキリ理解．公式を覚えずに導出する方法を丁寧に解説．公式を忘れても困らない！
物理や数値計算でよく使われる「無次元化」の意味やメリットを単振り子やシュレーディンガー方程式の例を使って解説します．数値計算の精度向上や方程式簡略化のポイントを具体的な手順とともに理解しましょう．
POINT ざっくり言えば，「テンソルの成分」と呼ばれる量を「行列の形」に並べると（表記や計算で）便利なことがある，というのが一つの答え．背景には，もう少し深い性質がある． 主な混乱の原因は，「行列の成分」が「2階のテンソル（1階反変1階共変テンソ…
POINT 基底の変換則から，高階のテンソルの変換則が導かれる． 導出した変換則を一覧として整理した． 以前の記事で， 「線形空間$V$の基底・双対基底の変換則」から，自然に「反変・共変ベクトルの変換則」が導かれること を示しました．この議論を一般化す…
POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で …
POINT 数行でラプラシアンやdivを計算できる方法（曲線座標）． 合成関数の微分（連鎖率・チェーンルール）なしで計算できる． より一般の曲線座標（曲がった空間）でも同じ方法が使える． ちまちま偏微分の計算をするのではなく，積分計算に置き換えてしま…
POINT ユークリッド空間の距離を保つ変換は「回転」と「反転」で表される． ミンコフスキー空間の距離を保つ変換はLorentz変換となる． 距離を保つ変換が「回転」と「反転」で表されることはよく知られています．但し，これは「ユークリッド空間」での話です…
POINT 数学的に収束因子が正当化される例の紹介． 物理においては，実験との比較によって正当化される． 物理では，広義積分の計算において収束因子を掛けて収束性を良くし，最後に収束因子の影響を除く操作を行うことがあります．この操作が正当化されるの…
曲面積の求め方をベクトル解析の基本から丁寧に解説．球や回転体の表面積の導出例を豊富に示し，公式を覚えなくても自分で導出できる力を養います．
ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー・電位）の求め方をわかりやすく解説します．力学・電磁気学の具体例を使い，公式の意味や導出方法を丁寧に説明します．
POINT スターリングの公式の異なる2つの表式の関係． 統計力学でよく出てくるStirlingの公式について考察します． スターリングの公式の2つの表式 式 (1)の導出 2式の関係について 付録 計算メモ スターリングの公式の2つの表式スターリングの公式（Stirling…
POINT ランダウの記号は，無限小や無限大を議論する際に現れる． 微小量の高次項を表す際，$o(\cdot)$や$O(\cdot)$といった記号が現れます（カリグラフィー$\mathcal{O}$が使われることもあります）．例えば，微積分学の教科書の中には，証明の中でこの記号…
POINT 電気回路の基礎知識を整理する． Maxwell方程式から電気回路の公式を導出する． 高校で習う程度の回路の知識が，電磁気学の理論（Maxwell方程式）と回路がどうつながっているの？という疑問を解消する内容にしていく予定です． Kirchhoffの法則 インピ…
POINT 行列表示とは，ベクトル空間の基底を単位ベクトルとみなすこと． 複素数の行列表現・四元数の行列表現・Pauli行列を簡単に導出できることを確かめる． 線形代数や量子力学では「線形写像/演算子を行列表示しなさい」という問題に出会います．この記事…
POINT 1次元の音波を図解する． 図を書く際は，横軸が「位置」か「時間」かをはっきりさせることが重要． この記事では， $\xi$：流体粒子の平衡位置からの変位．バネで言えば，釣り合い位置からの伸びです． $p$：圧力． $\displaystyle v=\frac{\partial\x…
POINT ベッセル関数の関係式． 積分表示 平面波 参考文献 積分表示積分表示 Besselの積分表示： $J_n(x)$$\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\bigl(x\sin\theta-n\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta$ Hansenの積分表示： $J_n(x)$$\displaystyl…
